Числовые характеристики дискретных случайных величин. Опр.Пусть (Ω, А, Р) — вероятностное пространство

Опр. Пусть (Ω, А, Р) — вероятностное пространство. Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на Ω и такая, что определена вероятность F(x)=P{X<x}=P{ω│P(ω)<x}. F(x) называется функцией распределения случайной величины X.

Замечание:

Если вероятностное пространство Ω конечно, то любая числовая функция, заданная на Ω, является случайной величиной.

Свойства функции распределения:

При x₁<x₂ P{x₁≤X<x₂}=F(x₂)-F(x₁)

F(x)#(не обязательно строго).

lim_x→-∞F(x)=0, lim_x→∞F(x)=1

F(x) непрерывна слева(т.е. lim_{x→x0 - 0}F(x)=F(x₀)).

Свойство 1 простое следствие из аксиом вероятностного пространства. Свойство 2 сразу следует из 1. Свойство 3 следует из аксиомы счетной аддитивности.

Опр. Случайные величины X и Y называются независимыми, если P{X<x, Y<y}= P{X<x}P{Y<y} (другими словами, события {X<x} и {Y<y} независимы)

Пространство элементарных событий дискретно, когда оно либо конечно, либо счетно.

Закон распределения дискретной случайной величины задается в виде таблицы ряда распределений

Пример:

Рассмотрим схему n независимых испытаний Бернулли. Определим случайные величины

Xi =1, если в i-м испытании успех, 0, если неудача.

Пусть Sn = X₁+X₂+…+Xn. Тогда случайная величина Sn — число успехов в серии n независимых испытаний Бернулли.

Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма

MX=∑x_i P{X=x_i}, где суммирование ведется по всем значениям xi случайной величины X.

Опр. Дисперсия (рассеяние) случайной величины X — DX=M(X-MX)², где X-MX отклонение случайной величины от мат. ожидания.

Опр. Cov(X,Y)=M((X-MX)(M-MY)) — ковариация случайных величин X и Y, заданных на одном и том же пространстве элементарных событий.

Опр. Пусть на одном и том же вероятностном пространстве заданы случайные величины X и Y. Коэффициентом корреляции X и Y называется число ρ (X,Y)=(Cov(X, Y))/√D X D Y