Устойчивость по Ляпунову

Поня­тие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности.

Состояние задается N-мерным вектором x(t) зависящим от времени, F(x) векторная функция, отображающая N-мерное пространство в себя.

Предположим, что динамическая система (9.1) при старте из начальной точких₀ порождает траекториюx(t). Рассмотрим дру­гую траекторию той же системы у( t), стартовая точка которой у₀ близка кх₀. Если обе траектории остаются близкими в лю­бой последующий момент времени, то траекторияx(t) называется устойчивой по Ляпунову.Говоря более формально, траекторияx(t) устойчива, если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε существует такое δ > 0, что для любой точки старта из δ -окрестности точких₀, т. е. при ||х₀ — y₀|| < δ, имеем для всехt> 0 ||x(t) -y(t)||< ε.

Более сильное свойство — асимптотическая устойчивость. Тра­екторияx(t) асимптотически устойчива, если для любого, сколь угодно малого ε > 0 существует такое δ > 0, что при ||х₀ —y₀|| < δ имеем для всехt>0

Наглядная качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 9.3. Когда говорятпросто об устойчивой траектории, то «по умолчанию» всегда име­ется в виду устойчивость по Ляпунову.

Имеет место следующая замечательная теорема: если непе­риодическая траектория устойчива по Пуассону и Ляпунову, то она квазипериодическая. Это утверждение очень существенно с точки зрения представления о том, что возможно и что невоз­можно в динамических системах.

Анализ фазовой траектории на устойчивость по линейному при­ближению и теорема Ляпунова. Пустьx(t) есть некоторая фазовая траектория, порождаемая динамической системой (9.1), а у(t) = x(t) + (t) — близкая траектория, реализующаяся при немного измененном начальном условии. Подставим выражение дляу(t)вуравнение (9.1) и разложим правую часть в ряд Тейлора по воз­мущению . Имеем:

гдеA(x(t)) есть матрица, составленная из частных производных от компонент векторной функцииF(x) по компонентам векторах:

Пренебрегая членами второго и более высокого порядка и учиты­вая, чтоx(t) удовлетворяет уравнениюdx/dt= F(x), находим, что эволюция малого возмущения (t) в линейном приближении описывается уравнением

Подчеркнем, что через посредство переменнойх, описывающей движение по невозмущенной траектории, матрицаА зависит от времени:А ≡A(x(t))≡A(t).

Забудем пока об исходной задаче и будем рассматривать свойс­тва решений линейного уравнения (9.4). Это как раз та математи­ческой проблема, применительно к которой была сформулирована знаменитая теорема Ляпунова. Основное условие справедливо­сти этой теоремы состоит в том, что должна существовать такая константа М, что для всех элементов матрицы Aijи для произвольного Т величина — не превышает М.

Теорема утверждает следующее.

1) Для любого решения уравнения (9.4) (t) существует Ляпу­новский характеристический показатель — вещественное чи­сло, отличное от ± , определяемое как верхний предел,

2) При умножении решения на константу ляпуновский пока­затель не меняется, т. е.

3) Ляпуновский показатель линейной комбинации двух реше­ний, ₁(t) и ₂(t), меньше или равен большему из показателей этих двух решений, т. е.

4) Имеется N (по размерности фазового пространства) линейно независимых решений уравнения (9.4) _i(t) (фундаментальная система решений), которым отвечает N ляпуновских показателей, нумеруемых в порядке убывания: . Наиболь­шее из этих чисел, , называют старшим ляпуновским показа­телем.

Вернемся теперь к исходной задаче, т. е. к нелинейной си­стеме уравнений (9.1). Для каждой траекторииx(t) уравнение в вариациях (9.4) даст определенный спектр ляпуновских пока­зателей. Присутствие в этом спектре показателя Λ означает, что существует такое возмущение исходной траектории, которое эво­люционирует во времени, грубо говоря, как exp(Λ t) (пока ампли­туда мала и оправдано использование линейного приближения). Следовательно, наличие в спектре хотя бы одного положительного ляпуновского показателя означает неустойчивость рассматривае­мой фазовой траектории. Если все показатели отрицательны, то это говорит об асимптотической устойчивости траектории. Если старший показатель нулевой, то это может свидетельствовать о недостаточности линейного анализа для заключения об устойчи­вости или неустойчивости траектории по Ляпунову.

В качестве примеров, допускающих простой анализ, рассмо­трим задачу о вычислении ляпуновских показателей для непо­движной точки и для замкнутой траектории — предельного цикла.

В случае неподвижной точкиx(t) ≡х₀≡const, и матрица А в уравнении (9.4) постоянна. Возмущение (t) представляется в виде суперпозиции собственных векторов этой матрицы как

где _s и λ_s — собственные векторы и собственные значения, опре­деляемые из уравнения . Вещественному собствен­ному числу отвечает ляпуновский показатель Λ = λ_s, а комплекс­ному Λ = Reλ_s, так что каждая комплексно-сопряженная пара собственных чисел дает два одинаковых показателя.

Если имеется хотя бы один положительный ляпуновский по­казатель, то неподвижная точка неустойчива. Если же все пока­затели отрицательны, то это означает асимптотическую устойчи­вость.

В случае предельного цикла зависимость состояния от времени периодическая,x(t) =x(t + T). Также периодической будет и за­висимость от времени матрицы А. В силу линейности уравне­ния в вариациях (9.4), векторы возмущения в моменты времени t = nТ иt=(n+1)Т связаны посредством некоторой матрицы U_T, которую называют матрицей монодромии:

Рассмотрим задачу на собственные векторы и собственные зна­чения для матрицы монодромии:

Собственные числа μ_sмогут быть вещественными или ком­плексными и их называют мультипликаторами цикла. Предпо­лагая для простоты, что матрица невырожденная, можно предста­вить решение уравнения в вариациях в виде суперпозиции соб­ственных векторов:

Если возмущение направлено вдоль собственного вектора, име­ющего действительное собственное число, то на каждом очередном периоде цикла оно просто умножается на μ_s, так что амплитуда нарастает по закону

Рассматривая случай комплексного собственного числа μ = ρехр(iv), в формуле (9.11) следует учесть вклад двух комплексно-сопряженных членов, так что возмущение ведет себя как

Вычисляя верхний предел , можно не обращатьвнимание на множитель . Таким образом, в обоих случаях ляпуновский показатель предельного цикла дается соот­ношением

Наличие мультипликатора, превышающего по модулю единицу, означает присутствие положительного ляпуновского показателя и неустойчивость цикла. Следует отметить, что у любой периодиче­ской траектории, устойчивой или неустойчивой, обязательно име­ется нулевой ляпуновский показатель, связанный с возмущением типа сдвига вдоль траектории. Действительно, такое возмущение в среднем не нарастает и не затухает во времени: возмущенное решение отвечает движению изображающей точки по той же тра­ектории и имеет, следовательно, такой же временной период, что и невозмущенное. Таким образом, устойчивый предельный цикл имеет нулевой старший показатель, тогда как остальные показа­тели отрицательны.