Сечение Пуанкаре и отображение последования

Рассмотрим систему с непрерывным временем, динамика кото­рой описывается некоторыми дифференциальными уравнениями. Пусть для определенности это автономная система с трехмерным фазовым пространством. Расположим в фазовом пространстве дву­мерную площадкуS и зададим на ней некоторую систему координат (X,Y). Выбор секущей поверхности в высокой степени произ­волен, но она должна размещаться так, чтобы интересующие нас фазовые траектории многократно ее пересекали и касание было бы исключено. Возьмем какую-нибудь точку (X, Y) на секущей поверхности, выпустим из нее фазовую траекторию и проследим за этой траекторией, пока не произойдет следующее ее пересече­ние с нашей площадкойS в некоторой точке (X', Y') с проходом в том же направлении. Если изменить точку старта, получится дру­гая точка-образ. Следовательно, возникает некоторое отображение секущей поверхности в себя:

Это и есть отображение последования, или отображение Пуан­каре.

Теперь можно отвлечься от исходных дифференциальных урав­нений и сосредоточиться на анализе динамики, порождаемой ото­бражением Пуанкаре. Эта подмена объекта исследования не сопро­вождается какими-либо аппроксимациями, анализ остается точ­ным. Цена, которую приходится при этом заплатить, — это потеря информации о характере динамики в промежутки времени между последовательными пересечениями секущей поверхности, в частности, о продолжительности интервалов времени между этими пересечениями и о топологических свойствах фазовых траекто­рий. Тем не менее, сохраняется возможность анализировать мно­гие принципиальные вопросы, например, устанавливается ли в си­стеме регулярный или хаотический режим.

Найти отображение Пуанкаре для конкретных нелинейных си­стем в явном виде удается очень редко, в тех исключительных случаях, когда дифференциальные уравнения допускают аналити­ческое решение. Можно, однако, построить отображение Пуанкаре, как численный алгоритм.

Предположим, что динамическая система описывается диффе­ренциальными уравнениями

и секущая поверхность задана уравнением

Пусть, далее, мы имеем реализованную в виде компьютерной про­граммы процедуру решения системы уравнений (6.2), например, методом Рунге-Кутта. Зададим в качестве начального условия некоторую точку на секущей поверхности и будем строить реше­ние шаг за шагом разностным методом, отслеживая знак функ­цииS(x, у, z). Момент пересечения траекторией секущей поверх­ности — это момент смены знакаS.Мы можем без труда зафиксировать, между какими по номеру шагами разностного ме­тода это случится. Предположим, что это произошло между n -м и (n + 1)-м шагами, так что S_n=S(x(nΔt), y(nΔt), z(nΔt)) и S_n+1=S(x((n+1)Δt), y((n+1)Δt), z((n+1)Δt)) имеют противо­положный знак. Остановимся и спросим, как теперь уточнить мо­мент пересечения. То, что нам на самом деле требуется, это даже не точный ответ (мы ведь все равно аппроксимировали диффе­ренциальные уравнения разностной схемой), но такой результат, который был бы согласован по точности с используемой аппрок­симацией. Изящный способ решения этой проблемы был указан Мишелем Эно и состоит в следующем. Дополним систему уравнений (6.3) еще одним соотношением, а именно,

или

А теперь перепишем уравнения, приняв за независимую перемен­ную S. Вводя для удобства обозначение

имеем:

Возьмем значенияx, у, z, t иS, полученные на (n + 1 ) -м шаге, и сделаем один шаг по S, величина которого (— S_n+1) (она может быть как положительной, так и отрицательной). После этогоSобратится в нуль, а полученные в результате х, у, z и t дадут как раз то, что требуется — значения динамических переменных и времени в момент пересечения траекторией поверхности S.

Алгоритм построения отображения Пуанкаре по методу Эно удобно программировать сразу как численное решение уравнений (6.6). При этом функция Н(х, у, z) полагается равной 1 до тех пор, пока выполняются «стандартные» шаги по времени, и переопреде­ляется в соответствии с (6.5), когда возникает необходимость про­извести «нестандартный» шаг по S. Поскольку в обоих случаях ис­пользуется один и тот же разностный метод, достигается желаемое согласование по точности. Хотя объем вычислений несколько уве­личивается из-за того, что количество уравнений стало больше на единицу, это компенсируется очевидными достоинствами метода.

Отдельного обсуждения требует важный для нелинейной ди­намики класс систем, задаваемых неавтономными дифференци­альными уравнениями с периодическими коэффициентами. С фи­зической точки зрения, это системы с периодическим внешним воздействием, все равно, силовым или параметрическим. Для та­ких систем процедура построения сечения Пуанкаре оказывается совсем простой.

Пусть в отсутствие периодического воздействия система имела двумерное фазовое пространство (x, y) и описывалась уравнени­ями вида , . Наличие внешнего периоди­ческого воздействия в общем случае выражается в том, что функ­ции f₁ и f₂ надо считать периодически зависящими от времени, т. е. и и записать

Введем новую переменную z, удовлетворяющую уравнению . Ясно, что автономная система с трехмерным фазовым простран­ством

эквивалентна (6.7). Для построения отображения Пуанкаре, в ка­честве секущей поверхности удобно взять плоскостьz = const(рис. 6.1б). В качестве координат на секущей плоскости можно

использовать естественные динамические переменные х и у. По­скольку поz фазовое пространство имеет периодическую струк­туру, мы можем не различать точки, отстоящие друг от друга на целое число периодов Т. Иными словами, когда изображающая точка пересекает верхнюю плоскость на рис. 6.1б, она мгновенно перескакивает на нижнюю, сохраняя те же значения координат х и у. О вспомогательной переменнойz можно забыть, ибо она не отличается от времениt, и говорить о фазовом пространстве (x, у, t).

Отображение Пуанкаре х' =F₁(x, у), у' = F₂(x, у) имеет про­стой смысл — оно описывает изменение динамических перемен­ных за один период внешнего воздействия. О нем иногда говорят как остробоскопическом отображении. Представьте себе, что динамика системы большую часть времени протекает в темноте и недоступна для наблюдения. Однако один раз за период внеш­него воздействия на короткий миг вспыхивает яркий свет, так что мы можем отслеживать дискретную последовательность состо­яний, отвечающую моментам вспышек. В отличие от случая авто­номных систем, численное построение стробоскопического отобра­жения Пуанкаре не вызывает никаких проблем — нужно просто всегда выбирать шаг интегрирования так, чтобы период воздей­ствия содержал целое число шагов.

Все проведенное рассмотрение очевидным образом обобщается для фазового пространства большей размерности, только вместо секущей двумерной площадки надо говорить о сечении N -мерного фазового пространства гиперповерхностью размерности N-1. То обстоятельство, что при использовании отображения Пуанкаре размерность векторов состояния, с которыми приходится рабо­тать, уменьшается на единицу, иногда очень полезно. Отображе­ние Пуанкаре вообще оказалось очень продуктивной теоретической конструкцией. Проводя рассуждения в терминах отображения Пу­анкаре, можно получать заключения очень общего характера, при­менимые и к системам, описываемым дифференциальными урав­нениями, как автономными, так и неавтономными, и к рекур­рентным отображениям — динамическим системам с дискретным временем. Замечательно, что процедура построения отображения Пуанкаре перестала быть уделом теоретиков и часто применяется как один из инструментов при экспериментальном исследовании динамики нелинейных систем.