Уравнения динамики одномодового лазера

Еще одна, совершенно иная физическая система, которая опи­сывается уравнениями Лоренца, — это модель одномодового лазера (Ораевский, 1981, 1996).

Предположим, что имеется резонатор (рис. 3.5), в котором мо­жет возбуждаться одна мода — колебания электромагнитного поля на определенной частоте ω₀ и с фиксированной пространственной

структурой. Амплитуда колебаний может медленно изменяться во времени благодаря присутствию потерь и взаимодействию поля с активной средой, заполняющей резонатор. Активная среда со­стоит из атомов с двумя энергетическими уровнями, причем раз­ность энергий между уровнями ΔЕ = hω₀, где h — постоянная Планка. Иными словами, частота перехода считается точно совпадающей с собственной частотой моды резонатора, расстройка отсутствует. Далее, предполагается, что присутствует механизм накачки, благодаря которому атомы переходят с нижнего уровня на верхний и в среде создается, как говорят, инверсная заселен­ность. Как будут выглядеть уравнения, описывающие динамику такой модели?

Выясним сначала, с какими динамическими переменными нам предстоит работать. Электрическое поле в резонаторе представим в виде

гдеE(t) — медленно меняющаяся амплитуда, E_s(r) характеризует распределение в пространстве поля рабочей моды резонатора. Да­лее, естественно предположить, что вектор поляризации активнойсреды — дипольный момент единицы объема характеризуется та­ким же пространственным распределением, как и электрическое поле, и может быть представлен в виде

Наконец, введем величину, характеризующую мгновенную раз­ность населенностей уровней, — инверсию

где N₁ и N₂ — число атомов, пребывающих в данный момент, со­ответственно, на нижнем и верхнем энергетическом уровне. Итак, мы должны сконструировать уравнения, описывающие динамику во времени величин Е, Р иD.

Выпишем сначала уравнение возбуждения резонатора. В ле­вой части будет стоять производная от амплитуды поля , а в правой — член, пропорциональный поляризации Р, отвечающий за возбуждение поля атомами среды, и член, описывающий потери энергии колебаний моды:

где α — параметр потерь, β — некоторая постоянная.

Второе уравнение, имеющее в левой части производную , описывает изменение поляризации активной среды. В правой ча­сти будет присутствовать релаксационный член (-γР) и еще один член, происхождение которого можно пояснить следующим обра­зом. Дипольный момент, который приобретает каждый атом ак­тивной среды в присутствии электрического поля, пропорциона­лен величине поля и зависит от того, на каком энергетическом уровне находится атом. Поэтому средний вклад в поляризацию будет пропорционален произведению амплитуды поля и разности населенностей. Таким образом, второе уравнение имеет вид

где γ и с — постоянные.

Наконец, третье уравнение описывает изменение инверсии на­селенностей и имеет вид

где Г — параметр релаксации населенностей, aD₀ характеризует интенсивность накачки. Член вида ЕР соответствует мощности, которую тратит поле на поляризацию среды (эта мощность может быть положительной или отрицательной). Если энергия переда­ется полю, инверсия уменьшается.

Заменой переменных и параметров

уравнения (3.32)-(3.34) приводятся к виду

Эти соотношения превращаются в уравнения Лоренца, если по­ложить ω = r-z. Таким образом, в лазерной интерпретации переменная x отвечает амплитуде поля, y — поляризации, a z — инверсии населенностей. Место параметра геометрии b и числа Прандтля σ занимают отношения коэффициентов релаксации ин­версии и поля к коэффициенту релаксации поляризации. Интен­сивность накачки играет ту роль, какую в гидродинамической си­стеме играло число Рэлея.