Корреляционная размерность и алгоритм Грассбергера-Прокаччиа

Рассмотрим снова покрытие аттрактора ячейками одинакового размера ε и предположим, что выбраны наугад две точки, принад­лежащие аттрактору, x₁и х₂. Какова вероятность того, что обе они окажутся вi-й ячейке? Вероятность того, что одна точка по­падает в i-й элемент покрытия, равна p_i. Если попадание обеих точек в данную ячейку можно считать независимыми событиями, то вероятность будет р_i².

Рассмотрим теперь сумму

и зададимся вопросом, как она будет вести себя при уменьшении размера ячеек, которыми производится покрытие. При уменьше­нии ε сумма будет убывать, и можно предположить, что это будетпроисходить по степенному закону:

или, что эквивалентно, существует предел

ВеличинуD₂ называют корреляционной размерностью.

Особое значение корреляционной размерности для нелинейной динамики состоит в том, что для ее вычисления имеется отно­сительно простой и эффективный (во всяком случае более про­стой и эффективный, нежели для других размерностей) алгоритм Грассбергера-Прокаччиа.

Он состоит в следующем. Пусть мы получили, скажем, из численного решения уравнений динамики набор векторов состо­яния {х_i, i = 1, 2,..., М}, отвечающих последовательным ите­рациям отображения или шагам интегрирования дифференциального уравнения. Задавшись некоторым (малым) ε, можно исполь­зовать наш набор данных для оценки суммы С(ε), фигурирующей в определении корреляционной размерности. Имеем:

= {вероятность того,что две точки разделены расстоянием меньше ε } =

Величину См(ε) называют корреляционным интегралом. При достаточно больших М (обычно тысячи или десятки тысяч) он служит статистической оценкой суммы С(ε) и, следовательно, мо­жет быть использован для вычисления корреляционной размерно­сти. Для этого проводят расчет См(ε) ^ПР^И различных е и пред­ставляют результаты в координатах log ε и log См (ε)- Предпола­гаемая зависимость См(ε) имеет вид ε ^D2, так что полученныйграфик должен иметь вид прямой линии с угловым коэффициен­том D₂.

Объем вычислений при подсчете корреляционного интеграла непосредственно с помощью (12.9) очень велик, поскольку количе­ство операций пропорционально М². Чтобы его сократить, приме­няют несколько «маленьких хитростей».

Во-первых, можно разбить рассматриваемую область фазового пространства на несколько частей и рассортировать обрабатывае­мые точки х_i по группам, отвечающим этим частям. Если ε мало, а это как раз интересующий нас случай, то при расчете корре­ляционного интеграла можно учитывать только те пары точек, у которых обе точки принадлежат одной и той же группе.

Во-вторых, вместо евклидовой нормы можно использовать дру­гую, требующую меньшего объема вычислений. При этом вели­чина размерности от выбора нормы не зависит. Математики вво­дят семейство норм

где q — параметр; в частности, q = 2 отвечает евклидовой норме. Среди них наиболее удобными для быстрого вычисления являютсянормы

На практике график зависимости корреляционного интеграла от ε, построенный в логарифмических координатах, отклоняетсяот прямой линии в области боль­ших ε, сравнимых с размерами ат­трактора, и очень малых ε, когда количество пар точек становится мало для хорошей статистической оценки. Интервал линейности тем шире, чем больше объем обрабаты­ваемых данных М. Чаще всего его выбирают «на глаз», а затем под­вергают полученные точки обработ­ке с помощью метода наименьших квадратов для нахождения аппрок­симирующей прямой.

В качестве примера на рис. 12.2 воспроизведены результаты расчета корреляционной размерности ат­трактора в отображении Эно х_n+1 = 1 — ax²— bу_п, y_n+1 =x_n представленные в оригинальной работе (Grassberger, 1983). Параметры отображения: а = 1,4, b= -0,3количество точек М = 16384. Результат расчета — значение кор­реляционной размерности D₂= 1,21.

20 Опишите одномерное отображение "зуб пилы". Покажите процесс возникновения хаоса в данной динамической системе