Одномерные отображения

Начнем с обсуждения модельных систем, состояние которых характеризуется одной-единственной переменной х, т. е. фазовое пространство одномерно, а оператор эволюции задается рекуррент­ным отображением вида х_n+1 =f(x_n), гдеn — дискретное время.

Отображение «зуб пилы». Рассмотрим систему, оператор эво­люции которой задан следующим правилом определения нового состояния по предыдущему:

где фигурные скобки обозначают дробную часть числа. В другой общеупотребительной форме это соотношение записывают как

Является ли предложенная модель динамической системой в смы­сле общего определения? Несомненно! Используя (2.1) или (2.2), мы можем, в принципе, определить состояние в любой последую­щий момент, если точно знаем исходное состояние х₀. Это дина­мическая система, заданная одномерным рекуррентным отображе­нием. На рис. 2.2 показан график отображения и построена итерационная диаграмма, иллюстрирующая несколько первых шагов динамики, начиная с некоторого начального состояния.

Пусть в качестве начального состояния выбрано некоторое чи­сло х₀, принадлежащее интервалу от 0 до 1. Запишем это число в двоичной системе счисления:

Теперь один шаг эволюции во времени согласно уравнению (2.1) или (2.2) состоит в том, что последовательность нулей и единиц сдвигается влево на одну позицию, и цифра, оказавшаяся по левую сторону от запятой, отбрасывается. Имеем:

и т. д. Ясно, что присутствие цифры 0 или 1 на первой позиции после запятой показывает, в какой половине единичного интер­вала — левой или правой пребывает динамическая переменная х_nв данный момент.

Что же следует из такого представления динамики?

Предположим сначала, что двоичная дробь периодическая, это будет так, если х₀ рациональное число. Ясно, что состояние си­стемы будет периодически повторять исходное через число вре­менных шагов, равное периоду двоичного кода х₀. Такой харак­тер движения будет соответствовать любому рациональному чи­слу, а эти числа, как известно, образуют на единичном интервале бесконечное счетное множество. Следовательно, система обладает бесконечным счетным множеством периодических орбит (циклов).

Непериодические двоичные дроби, отвечающие иррациональ­ным числам x₀, образуют множество с мощностью континуума. Соответственно, можно сказать, что наша система имеет конти­нуум непериодических траекторий.

Мы вправе задать начальное условие числом, имеющим произ­вольную последовательность нулей и единиц в своей двоичной записи. Возьмем случайную последовательность, которую можно получить подбрасыванием монеты, записывая результаты испыта­ний по правилу орел — 0, решка — 1: 010010... Тогда при зада­нии начального состояния х₀ = 0,010010... динамическая система (2.1) в процессе своей эволюции будет посещать левую и пра­вую половину единичного интервала, следуя нашей случайной последовательности. Вот он — хаос! Хаос в системе, описывае­мой детерминированным уравнением (2.1).

Преобразование двоичной последовательности, состоящее в сдвиге всех ее символов на одну позицию, называют сдвигом Бернулли. (По ассоциации с известной в теории вероятности схемой Бернулли, которая заключается в последовательности независи­мых испытаний, когда каждое испытание имеет два возможных исхода с вероятностями р и 1-р.)

Предположим теперь, что мы взяли очень близкое, но другое начальное значение х₀. Очень близкое — это значит, что доста­точно большое количество цифр двоичной записи до некоторой по­зиции, например 25-й, совпадает, а дальнейшие цифры («хвост») какие-то совсем иные. Тогда после 25 временных шагов, т. е. сдвигов Бернулли, начало хвоста как раз придвинется к разде­лительной запятой. Дальнейшая динамика и последовательность посещений левой и правой половины единичного интервала бу­дет определяться структурой хвоста и, следовательно, будет совер­шенно другой, нежели это имело место для исходного начального условия. Таким образом, имея возможность контролировать точ­ность задания начального условия до 25-го двоичного знака, мы можем правильно предсказывать попадание х_n в левую или пра­вую половину единичного интервала лишь на протяжении первых 25 временных шагов.

Если динамическая система, подобная по своим свойствам рас­сматриваемой модели, привлекается для описания какой-либо фи­зически реалистичной ситуации, то попытка предсказания состо­яния на N шагов вперед сталкивается при увеличении N с не­обходимостью столь точного задания начальных условий, что это становится в конце концов принципиально невозможным.

Известный популяризатор науки Мартин Гарднер в своей книге при­водит такую притчу. Инопланетянин, желая ознакомить своих сопле­менников с Британской энциклопедией, записывает ее содержание с по­мощью двоичного кода и сопоставляет этому коду число между нулем и единицей. Далее, на стержне из особого материала наносится риска, отмечающая найденное число. Инопланетянин берет с собой этот стер­жень с тем, чтобы дома измерить точно координату риски, получить за­писанное число в двоичном коде и восстановить тем самым содержание энциклопедии. Нелепость ситуации с физической точки зрения совер­шенно очевидна, и ее не спасают никакие допущения о всемогуществе инопланетной технологии: при попытке реализовать указанный способ записи информации пришлось бы иметь дело с масштабами длины на много порядков меньшими, чем размеры атомов.