Информационная размерность

Почему же одной размерности D₀ недостаточно? Представим себе, что аттрактор неоднороден — одни области (элементы по­крытия) посещаются чаще, другие реже. Это обстоятельство ни­как не отражено в определении размерности D₀, хотя, по идее, онодолжно быть существенным для такой количественной характери­стики свойств аттрактора, какой претендует быть размерность.

Попытаемся «исправить» определение размерности, приняв во внимание разную вероятность посещения ячеек покрытия. Для этого следует привлечь конструкцию, обсуждавшуюся в лекции 8, — инвариантную меру.

Напомним, что естественная инвариантная мера любой обла­сти фазового пространстваS определяется как вероятность пребы­вания в этой области типичной фазовой траектории:

где x₀ — точка старта траектории,t(S,x₀, Т) — время пребыва­ния изображающей точки в областиS при наблюдении за интер­вал Т. Предполагается, что величинаp(S) одна и та же почти для всех начальных условий из бассейна данного аттрактора, так что ее можно считать не зависящей от x₀.

Пусть для аттрактора определена инвариантная мера, и мы построили покрытие этого аттрактора, тогда каждая ячейка по­крытия будет иметь свою определенную величину меры. Иными словами, каждой i-й ячейке покрытия будет отвечать некоторая ве­роятность пребывания в ней р_i. Считая, что ячейки полностью покрывают аттрактор и не накладываются друг на друга, имеем

Рассмотрим теперь сумму

Эту величину можно интерпретировать как количество информа­ции в утверждении, что изображающая точка обнаружена в одной определенной ячейке покрытия.

Ясно, что при уменьшении размера ячеек покрытия величина суммы (12.3) будет возрастать: чем мельче ячейки, тем больше информации в утверждении, что точка попала в данную опреде­ленную ячейку. Можно предположить, что это нарастание следует степенному закону:

или, что эквивалентно, существует предел

ВеличинуD₁ называют информационной размерностью.

Информационная размерность обладает важным свойством, которое делает ее очень важной характеристикой фрактальных аттракторов. Имеет место следующая теорема, которую приведем без доказательства.

Пусть имеется аттрактор А, на котором определена инвари­антная мера, и пустьS — подмножество этого аттрактора, име­ющее меруθ между 0 до 1, т. е. 0<θ< 1. (Смыслθ в том, что это вероятность для взятой наугад точки аттрактора принад­лежать подмножествуS.) Тогда фрактальная размерность мно­жества S равна информационной размерности аттрактора А: D₀(S) = D₁(A).

Это будет так при любом вθ (0, 1), даже приθ = 0,99! Только приθ = 1 будем иметьD₀(S) = D₀(A).