Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки)

Система уравнений Ax=B

A= B=

Решение с-мы получается в 2 этапа прямым и обратным

α2=-l1/d1 i=2,3…n-1

β2=b1/d1

α i+1=-li/di+ci* αi

β i+1=-ci βi+bi/di+ci* αi

oбратный ход(нахождения решений)

xn=-cnβn+bn/dn+cn*αnxi=αi-1*xi-1+βi-1

i=n-1, n-2, ….1

метод подгонки можно примен если на главной диаграмме нет нулей, и знаменателей при αi+1 βi+1 ≠0

45. численное решение дифференциальных уравнений в частных производных: основные понятия, классификация уравнений

du/dx₁, du/dx₂…. du/dx k. d²U/(dx₁)², d^2U/(dx₂)²………. d²U/(dx_k)²

dU/(dx₁ dx₂)… dⁿU/((dx₁)^P1(dx₁)^P2…(dx_k)^Pk

P₁+P₂+…+P_k=n

В общих случаях мб. Расписано

F(U,dU/dx₁,dU/dx₂…dU/dx_k,d²U/(dx₁)², d²U/(dx₂)².. d²U/(dx_k)², dU/(dx₁ dx₂)… dⁿU/((dx₁)^P1(dx₁)^P2…(dx_k)^Pk)=G(x₁,x₂…x_k)

Классификация ду

1 размерность = к-ву независимых переменных в уравнении при первой независперемдуназ (оду) если независ перемен 2 и более, то дуназыв частных производных(ДУЧП)

2однородное уравнение является неоднородной если g(x 1 x 2 x k) не равно нулю ду однородный
3. порядок уравнения определяется так максимальный порядок производной
4. Линейность уравнения является линейным если функция f линейная относительно искомой функции и U eе производных в противном случае уравнение нелинейные например

dU/dx₁+d²U/dx²₂+U=0 линейное д.у 2 пор

dU/dx₁+d²U/dx²₂+U²=0 нелинейное д.у 2 пор

Решение д.у с частными производными общем случае как также является единственным как и для оду для отыскания единственного решения необходимо задавать дополнительные условия в качестве таких условий требуют чтобы искомая функция u x1 x2 xn принимала заданные значения в пространстве переменных x1 x2 xn к тому типу условий относительно начальных и граничных значений

46. Численное решение дифференциальных уравнений параболического типа математической физики.

Классическим уравнением параболического типа является уравнение:

Здесь

U – температура (уравнение теплопроводности и концентрация в уравнении диффузии);

A – коэффициенттемпературопроводности (уравнение теплопроводности).

Поскольку имеется производная по времени, аналитическое решение этих задач получаются для простейших конфигураций:

Поскольку в это уравнение входит время, то необходимо задавать начальные условия при и граничные условия: .

Для уравнения теплопроводности (диффузии) можно задать условие 1-ого рода:

Такая постановка задачи называется 1-ой начальной краевой или краевой задачей с начальными данными, также ее иногда называют задачами Коши краевыми (с граничными условиями).

Однако граничные условия можно задать иначе:

3-я краевая задача:

47. Численное решение дифференциальных уравнений гиперболического типа математической физики.

- скорость распространения волны.

Поскольку в волновое уравнение входит 2-ая производная по времени, то начальное условие дополняется еще одним уравнением.

1-ая краевая задача для волнового уравнения:

3-я краевая задача:

48. Численное решение дифференциальных уравнений эллиптического типа математической физики.

Классическими уравнениями эллиптического типа являются уравнение Лапласа:

и уравнение Пуассона:

Оба этих уравнения описывают течение идеальной жидкости (без вязкости и теплопроводности) в стационарных потоках, стационарное распределение температуры и стационарное распределение напряжения в электрических или магнитных полей. Уравнения Лапласа описывают все эти процессы, когда нет источника или стоков, а уравнения Пуассона, когда описываются процессы с источниками или стоками, задаваемые правой частью .

Первая краевая задача для уравнения Лапласа записывается с граничными условиями:

– для задания функции по границам и носит название задача Дирихле.

2-ая краевая задача, когда рассмотренные значения частных производных носит название Неймана.

3-я краевая задача: