Общие подходы к изучению геометрических фигур в начальной школе

Современные методические подходы к изучению геометрическо­го материала отражают изменения, которые произошли в начальной школе и обучении математике.

В первой половине ХХ в., когда обязательным было только на­чальное обучение, важно было научить выпускника практическому применению геометрических знаний к решению практических за-

дач, характерных для того времени. Такими задачами были: прове­шивание прямых линий, измерение расстояний, построение прямых углов на местности, измерение площадей земельных участков, объ­емов жидких веществ и некоторые другие задачи. Когда начальное образование стало ступенью обязательного семилетнего, а позднее, восьмилетнего образования, из содержания геометрического мате­риала исключили измерения на местности, а затем и вовсе эта часть содержания почти исчезла из начальной школы.

В период реформ математического образования в начале 70-х го­дов XX в. геометрия не только вновь обрела полноправную прописку в начальной школе, но и заняла там значительное место. Большое внимание в геометрическом образовании младших школьников этого периода уделялось теории. Целью изучения геометрии в началь­ной школе стало — быть первой ступенью непрерывного школьного геометрического образования. Основная задача: обеспечить геометрическое развитие младших школьников на уровне умения «различать элементы фигур, устанавливать отношения между этими элементами и отдельными фигурами», овладение которым должно происходить «в процессе (и с помощью) наблюдений, измерения, вычерчивания, моделирования. Свойства фигур устанавливаются экспериментально»¹. Объем геометрического материала в началь­ной школе значительно вырос. В дальнейшем этот объем сокращал­ся и к началу 90-х годов в единой для всей страны программе на­чального курса математики и соответствующих учебниках занимал весьма скромное место. (Подробнее об истории начального геоме­трического образования в работах по истории методики обучения математике².)

В настоящее время геометрический материал служит средством развития учащихся, средством достижения младшими школьника­ми личностных и метапредметных результатов. Один из возможных вариантов предметных результатов представлен в Примерной основ­ной образовательной программе: «Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Выпускник научится: …• распознавать, называть, изображать геометрические фигуры (точка, отрезок, ло­маная, прямой угол, многоугольник,треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность, круг); • выполнять построение геометрических фигур с заданными измерениями (отрезок, квадрат, прямоугольник) с помощью линейки, угольника; • использовать свойства прямоу-

¹ Пышкало А. М. Геометрия в I — IV классах (проблемы формирования гео­
метрических представлений у младших школьников). — 2-е изд. — М.: Просве­
щение, 1968.

² Смирнова И. М. Из истории наглядной геометрии; ЛанковА. В. К истории
развития передовых идей в русской методике математики: Пособие для учите­
лей. — М.: Учпедгиз, 1951. Исторические очерки по методике преподавания гео­
метрии [http://www.drofa.ru/files/pedagogika_geometrii.pdf]

гольника и квадрата для решения задач; • распознавать и называть геометрические тела (куб, шар); • соотносить реальные объекты с мо­делями геометрических фигур. Выпускник получит возможность научиться распознавать, различать и называть геометрические тела: параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус». Чтобы подготовиться к реализации современных требований и методических подходов к изучению геометрического материала в начальной школе учите­лю, будущему учителю необходимо знать математическое содержа­ние этого материала. Соответствующую информацию можно найти в вузовском учебнике математики (Л. П. Стойлова, 2012), в школьных учебниках геометрии.

Современные методические подходы строятся на признании влия­ния изучения геометрии на развитие мышления, воображения, речи, роли геометрических фигур в познания мира, необходимости строить обучение с учетом особенностей дошкольного опыта детей.

Геометрические фигуры, являясь носителями идеальных форм, отражают способы получения и передачи информации о форме раз­нообразных объектов материального мира, в первую очередь твер­дых тел. Разные виды геометрических фигур представляют форму твердых тел по-разному. Объемные (стереометрические) фигуры представляют форму твердых тел целиком. Плоскостные фигуры моделируют форму частей поверхности твердого тела, форму сече­ний и теней (проекций), а линейные фигуры — форму границ этих поверхностей, сечений и теней. Форму твердого тела можно задать также определенным расположением точек, «точечной фигурой». Например, параллелепипед однозначно определяется его вершинами. Наиболее полно информация о форме некоторого тела может быть передана с помощью всех видов фигур в их взаимосвязи. Кроме того характеристиками формы являются такие топологические характе­ристики как замкнутость и открытость, внешние и внутренние области.

Основными способами описания формы являются вербальный и графический. Для словесного описания формы нужны специальные слова, обозначающие форму соответственно предмета целиком, его поверхностей, границ поверхностей, границ видимости и т.д. Пере­дать информацию о форме предмета и геометрической фигуры как его модели можно также характеризуя словесно движение по поверх­ности предмета, по границам поверхностей или имитируя реальное движение, с помощью которого мы исследовали форму предмета. Это способ представления формы жестами. В начальной школе он очень полезен. Для графического представления формы разработаны специальные правила изображений, правила построения геометри­ческих фигур с использованием определенных наборов чертежных и измерительных инструментов.

Чтобы отразить бесконечное многообразие форм твердых тел в моделях, прибегают к идеализации. В результате получили не-

большое число основных идеальных форм — геометрических фигур на каждом уровне описания формы.

Для обозначения формы предмета целиком выделяют две основ­ные группы геометрических фигур: многогранники (призма, включая параллелепипед, куб; пирамида; правильные многогранники) и тела вращения (шар, цилиндр, конус) Обозначением формы плоских по­верхностей геометрических тел и поверхностей, разворачивающихся в плоские, служат плоские геометрические фигуры — угол (как часть плоскости), многоугольник (как часть плоскости), круг, эллипс (овал). Обобщением таких поверхностей является плоскость и кривые поверх­ности. Плоскостными геометрическими фигурами характеризуется также форма срезов, сечений, теней (проекций). Для описания границ поверхностей и границ видимости предназначены линии — замкнутые и незамкнутые, прямые и кривые. Соответствующие геометрические фигуры назовем линейными. Обобщением линий служат понятие пря­мая и кривая. К линейным геометрическим фигурам относятся также: луч, отрезок, ломаная, многоугольники, понимаемые как замкнутые ломаные линии; угол (как два луча, исходящие из одной точки).

Пересечением границ поверхностей, т.е. пересечением линий, являются точки. Если провести аналогию с предыдущими группами фигур, то можно назвать их «точечными фигурами». В математике их называют решетками и активно используют в дискретной мате­матике, в квантовой физике. Взаимное расположение точек, вклю­чая отношение расстояний между ними, и форма соединяющих их линий, может характеризовать форму твердого и соответствующего геометрического тела. У многогранников такими точками являют­ся их вершины. У шара главной точкой является центр, расстояния от которого до любой точки поверхности шара одинаковы.

Важную информацию о форме предмета несет форма теней (про­екций), форма срезов, сечений тел плоскостью. Наблюдения за те­нями (проекциями), срезами способствуют развитию представлений о форме, развитию пространственного воображения и формирова­нию понятий о геометрических фигурах.

Источником плоскостных и линейных геометрических фигур яв­ляются также формы линий и ограничиваемых ими частей поверх­ностей. Изучаемые в начальной школе геометрические фигуры могут «проявиться» в результате сравнения линий, узоров, контуров пред­метов, траекторий движений. Всем известно, как любят дети рисо­вать. Карандаши, ручки, фломастеры, мелки — любимые «инстру­менты» детей. Из-под их «пера» выходят линии самой разной формы. Комментируя рисунки, обучая рисованию, взрослые называют формы линий, их расположение относительно друг друга геометрическими терминами. Занятия изобразительной деятельностью оказывают зна­чительное влияние на геометрическое развитие детей.

Плоскостные геометрические фигуры и линии используются в психологических тестах при исследовании мышления. Объясня-

ется это тем, что они удобны для сравнения, образования рядов, представляющих закономерности. С помощью геометрических объ­ектов развивают внимание, память. Модели геометрических фигур, их изображения служат счетным материалом, элементами множеств, с помощью которых представляют числа, арифметические действия, отношения между ними. Геометрические фигуры характеризуют­ся величинами, как и моделируемые ими материальные тела. Все геометрические фигуры, кроме точки, обладают ненулевой длиной. Плоскостные фигуры двумерны, объемные фигуры — трехмерны. Плоскостные и объемные фигуры характеризуются площадью, объ­емные — объемом. Изучение геометрических величин — важнейший источник представлений учащихся о величинах реальных физиче­ских тел.

Система работы по геометрическому развитию должна включать обобщение представлений учащихся о форме и способах выражения информации о ней в уровни характеристики формы (геометрические тела, плоскостные фигуры, линии, точки); изучение геометрических фигур каждого уровня с обязательным выходом на общую проблему выражения формы и геометрические фигуры других уровней; обоб­щение и систематизацию знаний о геометрических фигурах и спо­собах действий с ними с выявлением освоенного и «точек роста». Последовательность рассмотрения геометрических фигур разных уровней описания формы — геометрические тела, плоскостные гео­метрические фигуры, линии и линейные геометрические фигуры, «точечные» геометрические фигуры (решетки) в этом случае может не иметь большого значения и быть любой.