Обучение решению уравнений

Основные способы решения уравнений в начальной школе: 1) подбор и 2) на основе зависимости между компонентами и ре­зультатом действия.

Подбор. Первым и ведущим способом решения уравнений должен быть подбор. Мы уже говорили, что этот способ основан на строгом

определении уравнения, отражает общий смысл понятия уравнения. Чтобы этот смысл был понят и принят необходимо, чтобы учащиеся приобрели достаточный опыт выполнения основных действий при подборе корня, так как владение ими необходимо при проверке ре­шении уравнения любым способом. Такими действиями являются: замена символа его значением, установление истинностного зна­чения числового равенства (верное или неверное?).

Решение уравнения подбором нужно включать в уроки и тогда, когда учащиеся познакомятся и с другими способами решения урав­нений. Такое решение может быть из видов заданий при освоении учащимися вычислительных алгоритмов, при изучении свойств дей­ствий, овладении умениями находить значения числовых выражений в несколько действий.

Задания. • 1. Реши следующие уравнения, подобрав корень с по­мощью свойств арифметических действий: х + 3 = 3 + 4; 12 - (7 + х) = = 12 - 7 - 10; 17 · (х + 5) = 17 · 10 + 17 · 5; 27 · 5 + 27 · х = 27 · 20. • 2. Дано уравнение 393 · х - 2 430: 5 = 6 195, корнем которого является одно из чисел из чисел 15 или 17; определи корень уравнения.

При решении подбором в рассмотрение можно брать любые уравнения, например такое (х + 3) - (4 + х) = 11, или после изучения умножения на нуль такое (х - 7) · (х - 14) · (5 - х) = 0. Полезно обра­щение к решению уравнений подбором и в процессе овладения уча­щимися действиями с многозначными числами. При любых способах решения, подстановка в уравнение значения переменной и вычисле­ние значений числовых выражений, расположенных слева и справа от знака =, установление того, верное или неверное равенство по­лучилось, являются средствами проверки решения. Таким образом, нахождение корня уравнения подбором полезно, прежде всего, как средство формирования понятия уравнения, как средство проверки найденного другим способом корня.

Способ, основанный на зависимости между компонентами и результатом действия. Это следующие зависимости: между сум­мой и слагаемыми (a + b  = c  <-> c  - b  = a, c  - a = b — если из суммы слагаемых вычесть одно из слагаемых, то получится другое); между разностью и вычитаемым, между разностью и уменьшаемым (a - b  = c  < r-> b + c  = a, a - c  = b — если к вычитаемому прибавить разность, то получится уменьшаемое; если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое); между произведением и множителями (ab = c <r-> c:b = a,c:a = b — если произведение разделить на мно­житель, то получится другой множитель); между частным и делимым, между частным и делителем (a:b = q <-> a  = bq, a:q = b — если частное умножить на делитель, то получится делимое; если делимое разделить на частное, то получится делитель). Обратим внимание, что зависи­мость действует в ситуации, выраженной в записи истинным число­вым равенством. Все буквенные записи свойств представляют истин-

ные числовые равенства для некоторой тройки чисел. Перечисленные свойства характеризуют связь действий, которые называют взаимно обратными: сложения и вычитания, умножения и деления.

Если в равенствах, выражающих зависимость между компонента­ми и результатами действий, поменяем левую и правую части и про­читаем их, то получим утверждения относительно компонентов дей­ствия. Например, а + Ъ = с <-> а = с - Ъ, Ъ = с - а, что читается так: «Слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого». Если это слагаемое по каким-либо причинам было нам неизвестно, то мы получаем возможность его найти. В этом случае формулируют пра­вила: как найти неизвестное слагаемое (вычитаемое, уменьшаемое, множитель, делимое, делитель), которые могут быть использованы при решении уравнений.

Рассмотренные зависимости являются важными зависимостями при изучении арифметических действий и потому рассматривают­ся обычно в процессе этого изучения. При планировании перехода к способу решения уравнений на основе этих зависимостей нужно на нескольких предыдущих уроках актуализировать знания этих зави­симостей, правил нахождения неизвестного компонента действий.

Чтобы перейти к способу решения уравнений на основе указан­ных зависимостей, нужно от уравнения как от равенства с пере­менной, которое не является верным числовым равенством, перей­ти к верному числовому равенству (представленные зависимости и правила применимы только к верным числовым равенствам). Для этого применяют прием, который можно назвать «выдаем желаемое за действительное». Этот прием заключается в том, что мы «делаем вид», что уравнение — это верное числовое равенство. Нам нужно, чтобы уравнение было верным числовым равенством — мы и назна­чим его быть таковым! В математике довольно часто используют этот прием. Говорят: «Пусть …». Принимая желаемое за действительное, получают следствия, приводящие к новым знаниям.

Пусть нам нужно решить уравнение: х + 18 = 42. Мы пока не зна­ем значения х, т. е. не знаем имени или цифрового общепринятого обозначения числа, при подстановке которого вместо х, равенство было бы верным. Но скажем: пусть х будет не переменной, а тем чис­лом, которое в сумме с 18 дает число 42, т. е. х и есть то самое число, которое является корнем уравнения. Просто оно записано не цифра­ми! И в этом смысле можно назвать его неизвестным нам. Тогда х + 18 = 42 есть истинное (верное) числовое равенство, утверждающее, что сумма числа х и числа 18 равна 42. Для такой суммы справедли­во свойство: если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое: 42 - 18 = х, или: чтобы найти неизвестное слагае­мое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое х = 42 - 18. Вы­полнив вычитание, получаем искомое значение х = 24 — цифровую запись слагаемого и значения переменной х, при котором уравнение обращается в верное равенство (24 — корень уравнения).

Урок, на котором первый раз обсуждается вопрос, как еще, кро­ме подбора можно найти корень уравнения может быть проведен по плану: а) актуализация знания зависимостей между компонентами и результатами изученных действий (сложения и вычитания); б) по­становка проблемы и учебной задачи: открыть, узнать новый способ решения уравнений, научиться решать простейшие уравнения новым способом; в) открытие нового способа в процессе обсуждения воз­можности применения свойств арифметических действий (зависимо­стей между компонентами и результатами действий), представление способа в форме алгоритмического предписания (перечня операций); г) применение нового способа к решению уравнений; д) подведение итога по теме «Решение уравнений на основе зависимостей между компонентами и результатами действий».

Полагаем, что введение уравнений и названных способов реше­ния произойдет не позднее второго класса, на материале действий сложения и вычитания, поэтому дальнейшее развитие темы будет идти по трем направлениям: простейшие уравнения с действиями умножения и деления; уравнения, требующие преобразования вы­ражений для перевода к основным видам простейших уравнений; уравнения сложной структуры. Виды простейших уравнений с умно­жением и делением: 2х = 8, х: 3 = 9, 24: х = 10. Примерный вид урав­нений, требующих преобразования числовых выражений: 3 + х + 17 = 18 · 3. Пример видов уравнений сложной структуры: (х + 4) · 5 = = 40, (х + 4) · 5 - 25 = 15. Уравнения для решения могут задаваться учебником, составляться самими учащимися, в том числе по тексто­вым задачам.

Значение изобретения уравнений в познании мира, решении за­дач осознается учащимися при применении их к решению текстовых задач. Как отмечалось, основной частью такого решения является составление уравнения, которое может рассматриваться как перевод текста с естественного языка на математический (см. гл. 5).

Завершая разговор о представлении алгебраической линии в на­чальном математическом образовании еще раз подчеркнем ее зна­чимость как средства обобщения, средства понимания сущности ма­тематики как всеобщего языка познания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Какая связь между алгеброй и арифметикой? Как вы понимаете слова Исаака Ньютона, что алгебра — это «всеобщая арифметика»?

2. Что такое «математическая структура»? Какие свойства множества на­туральных чисел и нуля позволяют утверждать, что это множество явля­ется структурой? Как можно использовать этот факт в обучении матема­тике учащихся начальной школы?

3. Приведите примеры заданий и вопросов, которые бы побуждали учащих­ся к обобщению арифметических действий и их свойств.

4. Какие средства письменного языка математики предназначены для утверждений о любых числах? Какие письменные знаки можно исполь­зовать для общих утверждений о числах, отношениях и действиях с чис­лами при обучении младших школьников? Как включить учащихся в про­цесс изобретения таких средств?

5. Что такое «буквенная символика» и как она может быть использована в начальном обучении математике?

6. Какую роль играет понятие выражения в математическом образовании младших школьников? Какие виды математических выражений рассма­триваются в начальной школе? Чему нужно и можно научить учащихся при изучении ими выражений? Перечислите соответствующие предмет­ные результаты.

7. Чем отличаются числовые равенства и неравенства от отношений равен­ства и неравенства между числами? Какова связь этих понятий? Как по­казать эти отличия и эту связь учащимся?

8. В чем сходство и отличия понятий «переменная» и «неизвестное»? Как это отражается в характеристике понятия «уравнение»?

9. Почему способ решения уравнений «подбором» является ключевым при обучении математике в начальной школе? Какие еще способы решения уравнений доступны учащимся начальной школы?

10. Как перейти от решения уравнений подбором к решению уравнений другим способом, чтобы смысл уравнения как равенства с переменной оставался неизменным?