Формирование представлений об уравнении в начальной школе

Существуют разные подходы к тому, как представлять понятия уравнения в начальной школе. Во-первых, по-разному решается вопрос о времени введения уравнений — от первого до четвертого классов. Доводов за первый-второй год обучения больше. Если в пер­вых-вторых классах не используется обобщающая символика, то не вводится понятие уравнения, у учащихся вырабатывается стереотип работы с числами, стереотип представления арифметических дей­ствий, в которых нет места переменной, неизвестному. При наличии таких стереотипов введение уравнений, неравенств с переменной бу-

дет затруднено. В программах, реализующих методические системы, основанные на идеях Д. Б.Эльконина—В. В.Давыдова, буквенная символика как носитель общего знания, является основой изучения чисел, отношений и действий с ними. Выражения и равенства с бук­венной символикой, выражающие действия, свойства действий, спо­собы решения текстовых задач, отношения между значениями одной и той же величины используются на всех уроках. Поэтому введение уравнения может быть вполне успешным и оправданным в любом классе в соответствии с логикой выстраивания курса.

Различия могут заключаться также в том, на каких понятиях осно­вывается введение уравнения: на понятии переменная или на поня­тии неизвестное. Введение уравнения может также основываться на противоречии, возникшем при записи некоторых способов ре­шения текстовых задач.

Различия в базовых понятиях ведут к различиям в смысле форми­руемых понятий (см. подразд. 8.1). Так как в математике уравнение — это равенство с переменной, то и перед учащимися начальной школы оно должно предстать как равенство с переменной. Кроме того, пони­мание учащимися уравнения как равенства с переменной, а решения уравнения как нахождения значений переменной, при которых урав­нение обращается в верное равенство, позволяет выйти и на любые другие смыслы уравнения и соответствующие способы решения. Как отмечалось в подразделе 8.1, такое понимание уравнения применимо ко всем видам уравнений, что обеспечивает преемственность началь­ной школы с основной школой. Наметим пути введения и изучения уравнений в соответствии с изложенной позицией.

Подготовка к введению уравнения. Подготовка заключается в формировании представлений о переменной, о верных и невер­ных числовых равенствах. Приведем примеры соответствующих за­даний.

Задания. • 1. Рассмотри выражения: 2 + 4, 11 + 4, 125 + 4, 100 + 4. Найди их значения. Что общего в выражениях? Чем они отличаются друг от друга? Используя какой-либо условный знак (А) или букву а, запиши общий вид выражений. Какие числа можно поставить вместо а? Составь задачи, решением которых будет выражение такого вида. • 2. Составь выражение с «окошком» (условным знаком) на сложение, на вычита­ние. Какие числа можно поставить в «окошко»? Поставь в «окошко» по очереди несколько чисел, вычисли значение каждого полученного выражения, запиши в тетрадь равенства. Сравни полученные равенства.

Таблица 8.2

х
25 - х

• 3. Прочитай выражение во второй строке табл. 8.2. Заполни таблицу. Как меняется разность с увеличением (уменьшением) вычитаемого, если уменьшаемое не меняется? Составь подобную таблицу, в которой уменьшаемое меняется, уменьшаемое переменное, а вычитаемое по­стоянно. Как меняется разность при увеличении (уменьшении) умень­шаемого, если вычитаемое не меняется?

• 3. Прочитай равенство: 25 - х = 19. Вместо х по очереди вставь числа, значения х: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Запиши получившиеся равенства. Какие (ое) верные, какие неверные? При каком значении х равенство оказа­лось верным? • 4. Запиши следующие тексты в виде равенства, исполь­зуя «окошко» или букву: «Таня задумала число, прибавила к нему 12 и получила 22», «Из некоторого числа вычли 5 и получили 35». Какой вопрос можно поставить к каждому тексту, чтобы получилась задача?

Введение понятия уравнения. Основной результат знакомства с уравнениями и понятием решения уравнений — достижение уча­щимися метапредметных результатов, в частности «2) освоение спо­собов решения проблем творческого и поискового характера; … 6) использование знаково-символических средств представления ин­формации для создания моделей изучаемых объектов и процессов, схем решения учебных и практических задач»¹.

Если в подготовительный период выполнялись задания, подоб­ные приведенным, то на уроке введения понятия достаточно только назвать соответствующие равенства уравнениями, ввести понятие решения уравнения и затем организовать учебную деятельность уча­щихся с целями: научиться распознавать уравнения и с помощью подстановки значений переменной определять, какие значения яв­ляются решениями (корнями) уравнения, а какие нет.

Возможен вариант с обнаружением противоречия в записи ре­шения задачи, которая приводилась в качестве примера разрешения диалектического противоречия в подразделе 3.3. Соответствующая ситуация обеспечивает обнаружение, проживание детьми противо­речия, что побуждает их к поиску путей его разрешений. Под управ­лением учителя этот поиск приводит к изобретению записи реше­ния задачи, которую принято называть уравнением. Участие детей в изобретения уравнений обеспечивает личностные смыслы нового понятия, и потому позитивную мотивацию к его изучению, в целом к изучению математики и к познавательной деятельности. Заметим: создание описываемой ситуации возможно, если до этого урока учи­тель не научил решать соответствующие задачи «единственно верным способом». Тогда и способ решения и нестандартная запись решения задачи не появятся и познавательный и развивающий потенциал за­дач подобного типа при введении уравнений реализовать будет до­вольно трудно. Будем исходить из того, что учитель грамотно ведет

ФГОС НОО. — М., 2011. — С. 6.

обучение решению задач, допуская разные способы решения, пре­доставляя учащимся возможность находить свои способы решения, организуя сравнение, обсуждение разных способов.

Предлагаем учащимся решить и записать решение задачи «В кор­зину с яблоками положили 5 яблок и потом пересчитали все ябло­ки. Их оказалось 9. Сколько яблок было в корзине?». Среди записей решений будут два: 1) «9 - 5 = 4. Ответ: в корзине было 4 яблока» и 2) «4 + 5 = 9. Ответ: в корзине было 4 яблока».

Устные пояснения к решениям показывают, что представлены два способа решения. Решение с помощью вычитания требует мыслен­ного или реального возвращения к исходной ситуации: нужно за­брать из корзины, из 9 яблок 5 яблок, которые добавили. Останутся те, которые там были. В задаче же описана ситуация, обозначаемая действием сложения: к какому-то количеству яблок положили 5 и по­лучили 9. Сумма 9 может получиться только если 5 прибавить к 4. Если прибавить к меньшему числу, например к 3, то получим 5 + 3 = 9 — неверное равенство; если прибавить к большему числу, напри­мер к 5, то получим 5 + 5 = 9 — тоже неверное равенство. Так как только когда к 5 прибавляют 4 получается названная в задаче сумма 9, то в корзине было 4 яблока, так как 5 + 4 = 9.

Просим учащихся сравнить записи двух решений задачи. Обнару­живаем противоречие между двумя требованиями к записи решения задачи: 1) запись решения должна представлять способ решения, и 2) искомое число должно быть записано справа от знака равенства. Но, чтобы отразить способ решения данной задачи, число 4 должно быть слагаемым и записано слева от знака «=», а чтобы представлять ис­комое число, 4 должно быть записано справа от знака «=».

Так как в подготовительный период тексты, подобные условию задачи мы записывали равенствами с «окошками», с буквами, то по­ступим и сейчас также. А потом напишем, что в «окошечке» должно быть число 4, или, что значение буквы должно быть равно 4. Получим запись: 5 + П = 9. П = 4 или 5 + a = 9, a = 4. Сообщаем: записи вида 5 + a = 9 называют в математике уравнением, а значение a, равное 4, — корнем уравнения: в этом уравнении единственное значение буквы, при котором числовое равенство было верным. (Пример подобной работы с другой задачей представлен также в подразделе 1.3.)

Мы сознательно взяли для обозначения не букву х. Это нужно для того, чтобы учащиеся понимали: обозначить переменную в уравне­нии можно любой буквой. Но математики договорились использо­вать для переменной в уравнении в основном последние буквы ал­фавита, и чаще всего букву х. А первые буквы алфавита применяют для других целей. При желании можно воспользоваться любой бук­вой и это не будет ошибкой. Просто понимать нас меньше будут те, кто привык к буквам х, y, z в уравнении. Понимание договорного характера математических символов, математических утверждений очень важно для понимания математики, понимания мира. Задача

учителя — ознакомить учащихся с этими договоренностями, моти­вировать полезность присоединения детей к этим договоренностям, не исключая и возможности их пересмотра и изменения. Такое пони­мание способствует формированию уважения чужого мнения, умения доступно выразить свое мнение, умения договариваться и достиже­нию других личностных и метапредметных результатов.

Далее выполняются задания на распознавание и на выбор чисел, при подстановке в уравнение которых вместо переменной урав­нение обращается в истинное числовое равенств.

Задания. • 1. Среди записей … выбери те, которые являются урав­нениями. • 2. Запиши уравнение х + 3 = 10. Поставь в него вместо х числа 4, 5, 6, 7, 8, 9 и запиши получившиеся равенства, ничего более в записи не меняя. Какие равенства верные? Какие неверные? При подстановке какого числа равенство оказалось верным? В равенствах, которые оказались неверными, перечеркни знак равенства. • 3. Поду­май и выскажи свое мнение. Почему мы ищем значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство, а значения, при которых уравнение обращается в неверное равенство, мы не ищем, а если находим, то оставляем без внимания?»

В поиске ответов на последний вопрос важен не ответ, а обсуж­дение, высказываемые детьми суждения о верном, истинном и о не­верном, ложном как в математике, так и вне математики.

Результатом урока введения понятия уравнения должны быть уме­ния узнавать уравнения среди других записей и выбирать из данных чисел корень уравнения в простейших случаях.

Дальнейшая работа должна быть направлена на освоение базовых характеристик этого понятия (равенство, содержащее переменную (букву), решить уравнение — найти значение или значения перемен­ной, при котором(ых) равенство будет верным) и совершенствование названных выше умений, на то, чтобы термин «уравнение» прочно был связан с вопросом «При каких значениях переменной (буквы) равенство будет верным?». И только после того, как будет обеспечено понимание всеми учащимися того, что такое уравнение, что значит решить уравнение, можно обсуждать вопрос как решать, как нахо­дить нужное значение более рационально чем подбор. Обычно такой вопрос возникает у учащихся, что и является основанием к переходу от вопроса «что?», к вопросу «как?».