Числовые равенства и неравенства в математическом образовании младших школьников

В подразд. 8.1. отмечалось, что числовые равенства и неравен­ства — понятия того же рода, что и выражения: это записи опреде­ленного вида. Все виды числовых равенств и неравенств могут быть представлены так: А = В, А < В А > В А ≤   В А ≥   В, гд еА и В — числа, записанные цифрами, или числовые выражения. Учащиеся встреча­ются с числовыми равенствами и неравенствами как только начинают сравнивать числа и записывать результаты сравнения, выполнять ариф­метические действия и записывать сами действия и их результаты.

Термины «равенство», «неравенство», также как и «выражение», и даже «верное равенство (неравенство)» учителю нужно использовать в своей речи с момента появления соответствующих записей наряду с общим названием «записи». Мешает усвоению этой математической терминологии использование слова «пример», которым иногда учи­тель заменяет все математические термины, относящиеся к арифме­тическим действиям. Но в математике нет такого термина и нет соот­ветствующего понятия. Основное значение слова «пример» — пред­ставитель чего-либо, один из многих («Пример выражения — 17:3»). В большинстве современных учебников это слово не употребляется (кроме как в основном значении как слово русского языка). Однако традиция его употребления в несвойственном ему значении в прак­тике школы все еще не изжита. Начальная школа — это период, когда закладываются основы математического языка, поэтому здесь особо важна грамотность этого языка у самого учителя.

После накопления достаточного опыта работы с числовыми ра­венствами и неравенствами при изучении чисел и действий с ними, решении текстовых задач, опыта употребления некоторых терминов вслед за учителем, проводится урок явного введения названных поня­тий. Так как объектами понятий числового равенства и неравенства являются записи, то способом введения будет появление соответству­ющих записей и сообщение о том, как они называются. Например, в учебнике А. Л.Чекина это сделано через следующие задания.

Задания. • «1. Дополни записи так, чтобы они получились верными:

7 = П 7 >П9 - 4 = ПП < 10 5 + 3 = 3 + П

• 2. Не вычисляя значения выражения 13 + 12 сравни его с числом 13. Результат сравнения запиши с помощью знака >. Чем похожи и чем отличаются записи слева и справа:» Слева: «5 = 5 3 + 4 = 7 10 - 2 = 8 12 + 13 = 13 + 12». Справа: «6 > 5 3 < 7 10 > 8 13 + 12 > 13.

Все ли записи являются верными? В столбике слева написаны ЧИС­ЛОВЫЕ РАВЕНСТВА. В столбике справа написаны ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕН­СТВА. Почему эти записи так называются?»¹

¹ ЧекинА.Л. Математика: 2 кл.: Учебник: В 2-хч. — Ч. 1. — М., 2008. — С. 13.

Усвоению понятий о верном (истинном) и неверном (ложном) равенстве и неравенстве способствует выполнение следующих за­даний.

Задания. • 1. Найдите значения данных числовых выражений и за­пишите верные числовые равенства. Измените компоненты выраже­ний так, чтобы новое выражение было больше (меньше) прежнего. Используя значения прежних числовых выражений, запишите верные числовые неравенства. • 2. Даны несколько неверных равенств. Пред­ложите несколько способов изменений, превращающих неверные ра­венства в верные. • 3. Даны несколько неверных равенств. Замените в них знак равенства на такой знак неравенства, чтобы неравенства были верными. • 4. Распределите следующие записи: а) на две груп­пы, б) четыре группы: 75: 5 = 15 3 · 4 а + 12 3 > 5 23 - 4 х > 4 47 · 2 - у 72 < 100, 12: 3 + 7 х + 127 = 200 14 · 5 > 14 · 3. Предло­жите несколько вариантов такого разделения.

В начальной школе известные свойства истинных числовых ра­венств и неравенств специально не изучаются. Но при изучении чисел и величин, арифметических действий они формулируются для отношений равенства и неравенства и интуитивно переносятся и на записи — на числовые равенства и неравенства. Формализация этих свойств в начальной школе нецелесообразна. Введенные тер­мины числовое равенство, числовое неравенство, верное числовое равенство, верное числовое неравенство позволяют грамотно фор­мулировать утверждения о числах и числовых выражениях, ставить задачу отыскания значений букв, при которых равенства и неравен­ства, содержащие буквы, будут верными, т. е. ставить задачу решения уравнений и простейших неравенств.