Степенные ряды. Ряд, членами которого являются функции, зависящие от х, называется функциональным:

Ряд, членами которого являются функции, зависящие от х, называется функциональным:

=u ₁ (x)+ u ₂ (x)+ …+ u_n(x)+ ….

Придавая х определенное значение х ₀, получим числовой ряд u ₁ (x ₀ )+ u ₂ (x ₀ )+ …+ u_n(x ₀ )+ …, который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка х ₀ называется точкой сходимости, если ряд расходится – точкой расходимости.

Совокупность всех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости.

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, так называемый степенной ряд:

(1)

или ...(2)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при х=х ₀¹0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, таких, что | x |<| x ₀|.

Интервал (-| x ₀|, | x ₀|) называется интервалом сходимости степенного ряда (1). Положив | x ₀|= R, интервал сходимости можно записать как (- R,R), при этом число R называют радиусом сходимости

.

Для ряда (2) интервал сходимости есть (х ₀- R, х ₀+ R). Концы интервала сходимости необходимо исследовать отдельно.

________________________

1. Найти области сходимости следующих степенных рядов:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

_________________________