Второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида

y"+a ₁ k+a ₂ y= 0. (5.1)

Квадратное уравнение k ² +a ₁ k+a ₂=0, (5.2)

называется характеристическим уравнением для уравнения (5.1), которое может иметь два действительных различных корня, два действительных равных корня (корень кратности два) или пару комплексно-сопряженных корней. Общее решение у_оо для однородного уравнения вида (5.1) определяется корнями характеристического уравнения:

1) k ₁ k ₂ – действительные различные корни, тогда

; (5.3)

2) k ₁ = k ₂ = k – действительные равные корни:

; (5.4)

3) k _{1, 2}=a±b i - комплексно-сопряженные корни

. (5.5)

5.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано дифференциальное уравнение вида:

, (5.6)

где а ₁, а ₂, …, а_n – постоянные величины.

Составляется его характеристическое уравнение

. (5.7)

Общее решение заданного уравнения имеет вид:

, (5.8)

где у ₁, у ₂,…, у_n – частные решения, которые определяются корнями характеристического уравнения, при этом каждому действительному корню кратности m соответствует m чаcтных решений вида e^kx, xe^kx,…,x^m-1e^kx, а каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности m соответствует m пар частных решений:

e^axsinbx, e^axcosbx; xe^axsinbx, xe^axcosbx;…; x^{m- 1} e^axsinbx, x^{m- 1} e^axcosbx.

__________________________

1. Решить уравнения:

а) y"- 5 y’+ 6 y =0;

б) y"- 4 y’+ 4 y =0;

в) y"- 4 y'+ 13 y =0;

г) y"- 4 y =0;

д) y"+ 4 y =0;

е) y"+ 4 y' =0.

2. Решить задачу Коши:

а) y"- 4 y'+ 3 y =0, если у (0)=6, y' (0)=10;

б) y"- 6 y'+ 9 y =0, если у (0)=0, y' (0)=2;

в) y"- 2 y'+ 2 y =0, если у (0)=0, y' (0)=1.

3. Решить уравнения:

а) y"'- 8 y =0;

б) y^VI+ 2 y^V+y^IV= 0;

в) y"’- 3 y"+ 3 y’-y =0, если у (0)=1, y’ (0)=2, y" (0)=3.

4. Решить уравнения:

а) y"+ 3 y'+ 2 y =0;

б) y"- 8 y' =0;

в) y"- 9 y =0;

г) y"+ 9 y =0;

д) y"+ 2 y'+ 5 y =0;

е) y"- 2 y'+ 3 y =0, если у (0)=1, y' (0)=3;

ж) y'"+y" =0, если у (0)=1, y' (0)=0, y "(0)=1.

_____________________