Решение задачи Коши для линейных

Дифференциальных уравнений

Методы операционного исчисления удобно применять при решении некоторых дифференциальных уравнений.

Пусть задано дифференциальное уравнение, например 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

a₀x " (t)+a ₁ x'(t)+a ₂ x(t)=f(t),

где а ₀, а ₁, а ₂= const. Требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: х (0)= х ₁, x' (0)= x ₂. Предположим, что правая часть данного уравнения является оригиналом. Тогда и решение x(t) этого уравнения тоже будет оригиналом. Пусть x(t)¸ X(p), тогда

x'(t)¸pX(p)-x( 0) =pX(p)-x ₁

x"(t)¸p ² X(p)-px( 0 )-x'( 0 )=p ² X(p)-px ₁- x ₂.

Далее находим изображение функции f(t)¸ F(p).

Наконец, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и пользуясь свойством линейности преобразования Лапласа, получаем операторное уравнение:

a ₀(p ² X(p)-px ₁ -x ₂)+ a ₁(pX(p)-x ₁)+ a ₂ X(p)=F(p).

Это уравнение является линейным относительно известной функции X(p). Решая его, находим Х(р) и затем по Х(р) восстанавливаем оригинал f(t).

_______________________

Средствами операторного исчисления решить линейные (однородные и неоднородные) дифференциальные уравнения (всюду x=x(t)):

1. x' +3 x =0, x (0)=2.

2. x' -4 x =1-4 t, x (0)=1.

3. x"+ 4 x' -5 x =0, x (0)=3, x' (0)=-3.

4. x" -6 x' +9 x =0, x (0)=1, x' (0)=2.

5. x"- x' = sint, x (0)=-1, x' (0)=0.

6. x"+ 2 x' + x = t+2, x (0)=0, x' (0)=2.

7. x"- x' = e^t, x (0)= x' (0)=4.

8. x" -3 x' +10 x =9 sint- 3 cost, x (0)=0, x' (0)=-2.

9. x"+ 2 x' + x = t, x (0)= x' (0)=0.

10. x"+ 2 x' +10 x = sin 3 t +6 cos 3 t, x (0)= x' (0)=1.

Глава 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ