Правой частью

Пусть задано дифференциальное уравнение вида

(6.1)

Общее решение Y неоднородного дифференциального уравнения (6.1) равно сумме общего решения у_оо соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения у_чн неоднородного уравнения:

Y _он=у_оо+у_чн (6.2)

Для специальных видов функции f(x), являющейся правой частью уравнения (6.1), y_чн удается найти методом неопределенных коэффициентов. Составить частное решение для дифференциального уравнения этого типа может помочь следующая таблица:

Таблица 1.

f(x)	Замечания	Вид учн
f(x)=Фn(x) – многочлен n -й степени	Число 0 не является корнем характеристического уравнения	учн = Qn(x) – полный многочлен n -й степени с неизвестными пока коэффициентами
Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности l	учн = Qn(x)хl
f(x)=Фn(x)eax	Число а не является корнем характеристического уравнения	учн = Qn(x)eax
Число а не является корнем характеристического уравнения кратности l	учн = Qn(x)eaxxl
f(x)= eax (Фn(x)cosbx+ +Rm(x)sinbx)	Числа а ± bi не являются корнями характеристичес-кого уравнения	учн = eax (Qk(x)cosbx+ +Q1k(x)sinbx), k – наибольшая из степеней n и m; Qk(x), Q1k(x) – два разных многочлена одной и той же степени k
Числа а ± bi являются корнями характеристичес-кого уравнения кратности l. Замечание: Пара чисел а ± bi является корнем кратности 1	учн = eax (Qk(x)cosbx+ +Q1k(x)sinbx) xl

Если правая часть уравнения (6.1) представляет собой сумму двух функций, т.е. f(x)=f ₁ (x)+f ₂ (x), то , где , - частные решения уравнения от функций f ₁ (x) и f ₂ (x) соответственно.

1. Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений, если:

1.1 y"- 3 y'+ 2 y = f(x); f(x) имеют вид:

а) 10 е ^-х; б) 3 е ^2х; в) 2 sinx; г) 2 х ³-30; д) 2 e ^x cos(x/ 2 ); е) х +1- е ^-2х; ж) е ^х(3-4 х); з) 3 х +5 sin 2 x; и) 2 е ^х- е ^-2х.

1.2. 2 y" +5 y' = f(x); f(x) имеют вид:

а) 5 х ²-2 х -1; б) е ^х; в) 29 cosx; г) 29 xsinx; д)100 хе ^-х cosx.

1.3. y"- 4 y'+ 4 y = f(x); f(x) имеют вид:

а) 1; б) е ^-х; в) 3 е ^2х; г) 2(sin 2 x+x).

1.4. y" + y = f(x); если f(x) равны:

а) 2 х ³- х +2; б) -8 cos 3 x; в) cosx; г) sinx- 2 e ^-x.

1.5. Записать вид частного решения для уравнения y" -2 y' +10 у = f(x), если f(x) имеют вид:

а) х ²-4 х; б) хе ^х; в) (2 х ²-3) е ^3х; г) е ^х cos 3 x; д) хе ^х sin 3 x; е) е ^х(xsin 3 x+x ² cos 3 x).

2. Решить следующие дифференциальные уравнения:

а) y"- 5 y'+ 6 y =13 sin 3 x;

б) y"- 3 y'+ 2 y = е ^х;

в) y"- 2 y'+y = х ³;

г) y"+ 4 y = xsin 2 x;

д) y" +8 y' =8 х.

е) y"- 3 y' =18 х -10 cosx.

3.Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

а) y" + y =2(1- х); у (0)=2; у '(0)=-2;

б) y"- 6 y'+ 9 y =9 х ²-12 х +2; у (0)=1; у '(0)=3;

в) y"+ 9 y =36 е ^3х; у (0)=2; у '(0)=6;

г) y"- 4 y'+ 4 y =2 е ^2х; у (0)= у '(0)=0;

д) y"+y =2 cosx; у (0)=1; у '(0)=0;

е) y"+y =4 xcosx; у (0)=0; у '(0)=1.

____________________