Метод вариации произвольных постоянных

(метод Лагранжа)

Ранее рассматривался метод подбора частного решения дифференциального уравнения вида (6.1) в случае, когда правая часть f(x) могла быть представлена как e^ax (Ф(x)cosbx+ +Q(x)sinbx).

В других случаях применяют метод вариации произвольных постоянных. Ограничимся рассмотрением этого метода для уравнений второго порядка: y"+а ₁ y'+а ₂ y = f(x).

Общее решение соответствующего однородного уравнения может быть найдено по корням характеристического уравнения как , где у ₁ и у ₂ – два независимых частных решения. Рассматривая теперь произвольные постоянные с ₁ и с ₂ как функции, зависящие от х, подберем их таким образом, чтобы решение являлось бы решением заданного уравнения с правой частью. Для определения этих неизвестных пока функций необходимо решить следующую систему:

относительно c' ₁ (x) и c' ₂ (x). Проинтегрировав полученные выражения, найдем искомые функции c ₁ (x) и c ₂ (x).

___________________

1. Решить уравнения методом вариации произвольных постоянных:

а) y"+y = ;

б) y"+ 4 y'+ 4 y = е ^-2х lnx;

в) y"- 2 y'+y = ;

г) y"-y' = .

_____________________