![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть задана бесконечная последовательность чисел а 1, а 2,…, аn,….
Числовым рядом называется выражение вида
а 1+ а 2+ а 3+ аn +… = .
Числа а 1, а 2,…, аn,… называются членами ряда, число аn – общим членом ряда.
Суммы вида S1= а 1, S2= а 1 + а 2, S3= а 1 + а 2 + а 3,…, S n = а 1 + а 2 +…+ аn называются частичными суммами.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм , в противном случае ряд называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости
Если ряд сходится, то общий член ряда n ®¥ стремится к нулю, т.е.
.
Если , то ряд расходится.
Признаки сходимости рядов с положительными членами
1 -й признак сравнения
Пусть и
- ряды с положительными членами, причем an £ bn для всех номеров, начиная с некоторого n=k. Тогда
1) если ряд сходится, то сходится и ряд
;
2) если ряд расходится, то расходится и ряд
.
2- й признак сравнения
Пусть и
- ряды с положительными членами и пусть существует конечный, отличный от нуля предел
. Тогда оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся одновременно.
Для сравнения часто используются следующие ряды:
1) , при этом, если a>1, то ряд сходится, если a£1, то ряд расходится;
2) , если | q |<1, то ряд сходится; в противном случае – расходится.
Признак Даламбера
Пусть - ряд с положительными членами, и существует конечный предел.
, тогда если k <1, то ряд сходится, если k >1, то ряд расходится. Если k =1, то ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд другими методами.
Признак Коши
Пусть - ряд с положительными членами и существует конечный предел:
, тогда если k <1, то ряд сходится, если k> 1, то ряд расходится, если k =1, то ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд другими методами.
Интегральный признак сходимости
Пусть - ряд с положительными членами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1;¥) функция f(x) такая, что f(n)=an, n= 1;2;…. Тогда ряд
и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
1. Для следующих рядов проверить необходимый признак сходимости:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ; е)
.
2. Исследовать на сходимость ряд, применяя 1-й признак сравнения
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) .
3. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ; е)
; ж)
; з)
.
4. Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера
а) ; б)
; в)
; г)
; д)
; е)
.
5. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:
а) ; б)
; в)
.
6. Применяя интегральный признак, исследовать ряды на сходимость:
а) ; б)
; в)
.
7. Исследовать на сходимость следующие ряды:
а) ; б)
; в)
; г)
; д)
;
е) ; ж)
; з)
; и)
.
_______________________
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 795 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!