Центральная предельная теорема. Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины, пусть существует конченое и , тогда для любого

Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины, пусть существует конченое и , тогда для любого , где - функция стандартного нормального распределения , если обозначить , то нормальная случайная величина

Док-во: т.к. непрерывная функция, то сходимость в каждой точке последовательности функции распределения случайной величины к является слабой сходимостью.

Тогда для доказательства можно воспользоваться теоремой непрерывности.

Теорема непрерывности: Последовательность функция распределения слабо сходится к некоторой последовательность характеристических функций сходится к характеристической функции равномерно на каждом отрезке

Пусть - характеристическая функция => - характеристическая функция

по свойству характеристической функции

Т.О. , по свойству характеристической функции существуют и

Тогда рассмотрим для этой функции можно построить ряд Маклорена по степеням до 2 числа включительно.

=>

=> - характеристическая функция стандартного нормального распределения.

Покажем, что , где - характеристическая функция стандартного нормального распределения

Пусть t = x₁

Замена: y = x – it