Закон больших чисел (теорема)

Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины (имеют одинаковые характеристики, если эти характеристики существуют). Пусть существует , , тогда для любого справедливо:

Док-во: Пусть , ,

Подставим в неравенство Чебышёва , тогда

(**)

Замечание: Для выполнения закона больших чисел необходимым и достаточным условием является существование мат ожидания , более того существует последовательность независимых случайных величин, которые не имеют ни , ни , но при этом для них выполняется закон больших чисел.

Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины.

- случайная величина для которой выполняется ЗБЧ.

Рассмотрим последовательность: . Для этой последовательность не гарантируется выполнение ЗБЧ для каждого элементарного события w. Тогда Пусть не сходится к а }

Если ЗБЧ выполняется при P(A)=0, то это усиленный ЗБЧ.

Теорема: (усиленный ЗБЧ)

Существование мат ожидания является необходимым и достаточным условием выполнения усиленного ЗБЧ для последовательности независимых одинаково-распределенных случайных величин постоянная, а в этом случае совпадает с мат ожиданием , т.е. Пусть существует - независимая случайная величина, пусть существует выполняется усиленный ЗБЧ при этом в пределе (**).