Радикальный Признак Коши

Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется: 1. (функция принимает неотрицательные значения) 2. (функция монотонно убывает) 3. (соответствие функции ряду) Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке

2. Площадь большей фигуры равна

3. Площадь меньшей фигуры равна

4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна

5. Получаем

6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Гармонический ряд

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда^[1]:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны.^[2]

Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой s_n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число: