![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Частная производная
В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной
, которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции:
, где
— частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа
является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение
в выражении
. (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке
по координате
равна производной
по направлению
, где единица стоит на
-ом месте.
Примеры:
Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
Частная производная объема V относительно радиуса r
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Частная производная относительно h
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.
Полная производная V относительно r и h
и
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
Это дает полную производную относительно r:
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
Дифференциалы высших порядков нескольких переменных:
Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть
.
Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:
.
Символически общий вид дифференциала n -го порядка от функции выглядит следующим образом:
,где , а
произвольные приращения независимых переменных
.
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.
Понятие и необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных. Стационарные точки. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции двух переменных в замкнутой области.
Локальный экстремум:
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Определение 7.4 Пусть функция определена в некоторой окрестности
,
, некоторой точки
своей области определения. Точка
называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности
выполняется неравенство
(
), и точкой локального минимума, если
.
Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.
Локальный экстремум функции двух переменных
Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции
Если - точка экстремума функции f, то
и
или
Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции
Обозначим
Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.
Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.
Если D < 0, экстемума в точке нет.
Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.
Функции n переменных
Приращение функции в точке
Функция, дифференцируемая в точке
при
В этом случае дифференциал функции f в точке
:
- частные производные первого порядка функции f.
Критической точкой дифференцируемой функции , где
— область в
, называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению в нуль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума функции.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 1416 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!