Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

Частная производная

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.

Примеры:

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

Частная производная объема V относительно радиуса r

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Частная производная относительно h

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.

Полная производная V относительно r и h

и

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

Это дает полную производную относительно r:

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

Дифференциалы высших порядков нескольких переменных:

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n -го порядка от функции выглядит следующим образом:

,где , а произвольные приращения независимых переменных .
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Понятие и необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных. Стационарные точки. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции двух переменных в замкнутой области.

Локальный экстремум:

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определение 7.4 Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство (), и точкой локального минимума, если .

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Локальный экстремум функции двух переменных

Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции
Если - точка экстремума функции f, то

и или

Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции

Обозначим

Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.

Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.

Если D < 0, экстемума в точке нет.

Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

Функции n переменных

Приращение функции в точке

Функция, дифференцируемая в точке

при

В этом случае дифференциал функции f в точке :

- частные производные первого порядка функции f.

Критической точкой дифференцируемой функции , где — область в , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению в нуль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума функции.