Доказательство. n+1- четное следовательно положение функции у нас зависит только от производной

n+1- четное следовательно положение функции у нас зависит только от производной . N-нечетное y(x)>y(кас), если . y(x)<y(кас), если , точка X0-точка перегиба.

БИЛЕТ № 39. дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков искомой функции.

Определение. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких переменных – то уравнением в частных производных.

Рассмотрим пример. Найти первообразную , если .

Решение. Раньше мы эту задачу решали с помощью неопределенного интеграла. Однако, ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей уравнению . .

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:

. (12.1)

Например: .

Определение. Дифференциальное уравнение -го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

, (12.2)

где - некоторая функция от переменной.

Определение. Решением дифференциального уравнения (12.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Например, есть решение уравнения , т.к. .

Определение. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования этого дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Поскольку , то . Интегрируя левую и правую часть равенства, получим . Т.к. , то разделив переменные имеем . Интегрируя вторично, получим решение: , .

Проверка: .

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (12.1) –го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменных и произвольных постоянных .

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Например, для уравнения , где .