Свойства смешанного произведения

1. Справедливо соотношение , поэтому в тройке векторов знак векторного произведения можно ставить между любыми двумя векторами. Поэтому обычно смешанное произведение записывают в виде или .

2. Циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняется, т.е. = = .

Доказательство. 1). Смешанное произведение есть объем того же параллелепипеда , площадью основания которого является параллелограмм, построенный на векторах и с площадью , а высота - .

2). Справедливость циклической перестановки непосредственно следует из цепочки равенств .

ЗАДАЧИ

Для заданных векторов 1) выяснить, будут ли эти векторы компланарны; 2) в случае, если векторы некомпланарны, определить ориентацию тройки ; 3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах:

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. Векторы образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны. Зная, что , , , вычислить .

5. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов:

а) , , ;

б) , , .

6. Вычислить объем тетраэдра ОАВС и длину высоты, опущенной из

вершины С, если , , .

7.Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат.