Доказательство. Для ортов декартовой системы координат имеютместо соотношения:

Для ортов декартовой системы координат имеютместо соотношения:

Используя свойства (1) – (3), получим искомое выражение.

Следствие. Если два вектора и коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.

.

Доказательство. Из равенства следует, что , т.е.

; из , следует, что ; из ,

следует . А это и означает, что действительно .

ЗАДАЧИ

1. Упростить выражение:

а) ; б) .

2. Известно, что , , векторы и образуют угол . Вычислить: а) ; б) ; в) .

3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4), С(4;3;2) и найти длину высоты AD.

4. Вектор , перпендикулярный векторам и , образует с осью тупой угол. Зная, что , найти его координаты.

5. Три вершины параллелограмма имеют координаты , , . Найти его площадь и синус угла между смежными сторонами.