Смешанное произведение в декартовых координатах

Теорема. Если три вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами

, , ,

то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов

.

Доказательство. - это и есть указанный определитель, вычисленный разложением по последней строке.

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , и является равенство нулю определителя, строками которого служат координаты этих векторов, т.е. равенство

.