![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Введем некоторую терминологию. Будем называть совокупность всех геометрических векторов, имеющих три координаты в прямоугольной декартовой системе координат, пространством векторов (трехмерное пространство), имеющих только две координаты – пространством векторов
(двумерное пространство), и одну – пространством векторов
(одномерное пространство). Начнем с наиболее общего случая и рассмотрим в пространстве
линейную комбинацию из произвольных n векторов
, (2.1)
где - некоторые вещественные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Определение: векторы называются линейно зависимыми, если найдется такой набор коэффициентов
, не все из которых равны нулю, что
.
В противном случае векторы называются линейно независимыми. Если векторы заданы своими декартовыми координатами
,
то, представляя координаты каждого из них в виде вектор- столбца, линейную комбинацию (2.1) можно записать в виде
.
Тогда определить, будут ли n векторов линейно зависимыми или нет, можно следующим образом. Равенство нулю записанной выше линейной комбинации векторов равносильно записи ее в виде однородной системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов этой линейной комбинации
, (2.2)
которая имеет нетривиальное решение только в том случае, если ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных коэффициентов
. Заметим, что ранг матрицы A не может быть больше трех и, следовательно, число линейно независимых векторов в
также не может быть больше трех. Чтобы определить, какие из n векторов линейно независимые, нужно выбрать какой-либо базисный минор матрицы A. Тогда по теореме о базисном миноре все его столбцы линейно независимы, следовательно, и векторы, координатами которых являются эти столбцы, также являются линейно независимыми. Максимальное число таких линейно независимых векторов равно максимальному значению ранга матрицы A и называется размерностью пространства векторов, а их совокупность называется базисом. Если добавить к базисным векторам любой другой вектор, то получим уже линейно зависимую систему векторов и тогда этот добавленный вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Пусть в
базисными будут векторы
. Если добавить к ним любой другой вектор
, то совокупность векторов
будет уже линейно зависимой и этот дополнительный вектор может быть выражен в виде линейной комбинации векторов базиса
. Числа
называются координатами вектора
в этом базисе, а его представление в виде линейной комбинации базисных векторов - разложением вектора
по этому базису. Заметим, что в совокупности векторов
может быть несколько базисов, но число векторов, образующих базис, всегда одинаково. Значения этих координат находятся из решения системы уравнений
, матрицей которой являются координаты базисных векторов, а правая часть – координаты вектора
в исходном декартовом базисе. Матрица этой системы уравнений всегда является квадратной и невырожденной.
В случае, когда ранг матрицы A системы (2.2) равен двум, имеется только два линейно-независимых вектора, а это означает, что все векторы линейной комбинации (2.1) компланарны, т.е. лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если же ранг матрицы А оказался равен единице, то все векторы в (2.1) коллинеарны.
Применяя все, изложенное выше, к векторным пространствам и
, легко показать, что базис в
состоит из любых двух линейно независимых векторов, а в
- из одного любого ненулевого вектора.
Пример. Даны четыре вектора
. Найти базис этих векторов и разложить один из них по этому базису.
Решение. Запишем матрицуА: . Ранг этой матрицы rang(A)=3, следовательно, три вектора из четырех линейно независимы. В качестве столбцов базисного минора можно взять, например, первые три столбца, тогда векторы
образуют базис. Можно взять столбцы со второго по четвертый и тогда векторы
также образуют базис. Если выбран первый базис, то вектор
можно разложить по этому базису:
. Координаты этого вектора в данном базисе найдутся из решения системы уравнений
.
Имеем: . Следовательно, вектор
имеет в данном базисе координаты
.
В заключении рассмотрим простейшую задачу из аналитической геометрии – деление отрезка в заданном отношении, при решении которой можно использовать свойства геометрических векторов. Пусть в на некоторой прямой задан отрезок
. Тогда для числа говорят, что точка М этой прямой делит отрезок
в отношении
, если имеет место равенство
.
Заметим, что это равенство возможно только при . Если точки заданы своими декартовыми координатами
,
,
, то указанное равенство можно записать в виде
,
из которого координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении , определятся по формулам
ЗАДАЧИ
1. Векторы образуют базис на плоскости. Показать по определению, что векторы
,
линейно зависимы, и выписать их координаты в базисе
.
2. Векторы образуют базис в пространстве. Выписать координаты векторов
,
,
в этом базисе и доказать двумя способами (по определению и через ранг матрицы), что
линейно независимы. Разложить по базису
вектор
.
3. Даны векторы, имеющие в некотором базисе координаты: ,
,
,
. Найти базис данной системы векторов и разложить по этому базису векторы, не входящие в базис.
4. Доказать, что векторы ,
,
образуют базис. Разложить вектор
по базису
.
5. Найти вектор , коллинеарный вектору
, образующий с
тупой угол и имеющий длину 15.
6. На плоскости даны точки А(0;1), В(2;2), С(1;0), D(-3;4). Разложить вектор
по векторам
и
.
7.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1), С(6;4;4). Найти четвертую вершину D, точку пересечения диагоналей О, длины диагоналей.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 341 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!