Линейная зависимость и независимость векторов. Базис

Введем некоторую терминологию. Будем называть совокупность всех геометрических векторов, имеющих три координаты в прямоугольной декартовой системе координат, пространством векторов (трехмерное пространство), имеющих только две координаты – пространством векторов (двумерное пространство), и одну – пространством векторов (одномерное пространство). Начнем с наиболее общего случая и рассмотрим в пространстве линейную комбинацию из произвольных n векторов

, (2.1)

где - некоторые вещественные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Определение: векторы называются линейно зависимыми, если найдется такой набор коэффициентов , не все из которых равны нулю, что .

В противном случае векторы называются линейно независимыми. Если векторы заданы своими декартовыми координатами

,

то, представляя координаты каждого из них в виде вектор- столбца, линейную комбинацию (2.1) можно записать в виде

.

Тогда определить, будут ли n векторов линейно зависимыми или нет, можно следующим образом. Равенство нулю записанной выше линейной комбинации векторов равносильно записи ее в виде однородной системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов этой линейной комбинации

, (2.2)

которая имеет нетривиальное решение только в том случае, если ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных коэффициентов . Заметим, что ранг матрицы A не может быть больше трех и, следовательно, число линейно независимых векторов в также не может быть больше трех. Чтобы определить, какие из n векторов линейно независимые, нужно выбрать какой-либо базисный минор матрицы A. Тогда по теореме о базисном миноре все его столбцы линейно независимы, следовательно, и векторы, координатами которых являются эти столбцы, также являются линейно независимыми. Максимальное число таких линейно независимых векторов равно максимальному значению ранга матрицы A и называется размерностью пространства векторов, а их совокупность называется базисом. Если добавить к базисным векторам любой другой вектор, то получим уже линейно зависимую систему векторов и тогда этот добавленный вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Пусть в базисными будут векторы . Если добавить к ним любой другой вектор , то совокупность векторов будет уже линейно зависимой и этот дополнительный вектор может быть выражен в виде линейной комбинации векторов базиса . Числа называются координатами вектора в этом базисе, а его представление в виде линейной комбинации базисных векторов - разложением вектора по этому базису. Заметим, что в совокупности векторов может быть несколько базисов, но число векторов, образующих базис, всегда одинаково. Значения этих координат находятся из решения системы уравнений , матрицей которой являются координаты базисных векторов, а правая часть – координаты вектора в исходном декартовом базисе. Матрица этой системы уравнений всегда является квадратной и невырожденной.

В случае, когда ранг матрицы A системы (2.2) равен двум, имеется только два линейно-независимых вектора, а это означает, что все векторы линейной комбинации (2.1) компланарны, т.е. лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если же ранг матрицы А оказался равен единице, то все векторы в (2.1) коллинеарны.

Применяя все, изложенное выше, к векторным пространствам и , легко показать, что базис в состоит из любых двух линейно независимых векторов, а в - из одного любого ненулевого вектора.

Пример. Даны четыре вектора

. Найти базис этих векторов и разложить один из них по этому базису.

Решение. Запишем матрицуА: . Ранг этой матрицы rang(A)=3, следовательно, три вектора из четырех линейно независимы. В качестве столбцов базисного минора можно взять, например, первые три столбца, тогда векторы образуют базис. Можно взять столбцы со второго по четвертый и тогда векторы также образуют базис. Если выбран первый базис, то вектор можно разложить по этому базису: . Координаты этого вектора в данном базисе найдутся из решения системы уравнений

.

Имеем: . Следовательно, вектор имеет в данном базисе координаты .

В заключении рассмотрим простейшую задачу из аналитической геометрии – деление отрезка в заданном отношении, при решении которой можно использовать свойства геометрических векторов. Пусть в на некоторой прямой задан отрезок . Тогда для числа говорят, что точка М этой прямой делит отрезок в отношении , если имеет место равенство

.

Заметим, что это равенство возможно только при . Если точки заданы своими декартовыми координатами , , , то указанное равенство можно записать в виде

,

из которого координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении , определятся по формулам

ЗАДАЧИ

1. Векторы образуют базис на плоскости. Показать по определению, что векторы , линейно зависимы, и выписать их координаты в базисе .

2. Векторы образуют базис в пространстве. Выписать координаты векторов , , в этом базисе и доказать двумя способами (по определению и через ранг матрицы), что линейно независимы. Разложить по базису вектор .

3. Даны векторы, имеющие в некотором базисе координаты: , , , . Найти базис данной системы векторов и разложить по этому базису векторы, не входящие в базис.

4. Доказать, что векторы , , образуют базис. Разложить вектор по базису .

5. Найти вектор , коллинеарный вектору , образующий с тупой угол и имеющий длину 15.

6. На плоскости даны точки А(0;1), В(2;2), С(1;0), D(-3;4). Разложить вектор по векторам и .

7.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1), С(6;4;4). Найти четвертую вершину D, точку пересечения диагоналей О, длины диагоналей.