Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается как или . По определению . Воспользуемся определением числовой проекции . Тогда можно дать и другое определение скалярного произведения. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на числовую проекцию другого вектора на ось, определенную первым из указанных векторов. Скалярное произведение имеет и определенный физический смысл: если - вектор силы, точка приложения которой перемещается из начала вектора в его конец, то есть работа этой силы на пути .

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. 1). Необходимость. Если векторы перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю и .

2). Достаточность. Если скалярное произведение , то , т.к. и .