Алгебраические свойства скалярного произведения

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. (распределительное свойство).

4. , если ненулевой вектор и , если =0.

Свойство (1) очевидно из определения скалярного произведения.

Свойство (2): .

Свойство (3): .

Свойство (4): , если .

Рассмотрим теперь выражение скалярного произведения через декартовы координаты.

Теорема. Пусть два вектора и определены своими декартовыми координатами , . Тогда скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их координат:

.

Доказательство. Используя свойства (1) – (3), имеем

поскольку , а скалярные произведения различных орт равны нулю.

Следствия: 1). Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является равенство

.

2). Угол между двумя векторами и определяется по формуле

.

Действительно, , откуда и следует эта формула.

ЗАДАЧИ

1. Векторы и образуют угол , , . Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

2. Для векторов и известно, что , . Определить, при каком значении векторы и будут перпендикулярны.

3. Найти угол, образованный единичными векторами и , если векторы и перпендикулярны.

4. Векторы , заданы декартовыми координатами. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) направляющие косинусы вектора ;

з) ; и) .

5. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами

А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1).

6. Найти вектор , удовлетворяющий условиям:

а) коллинеарен вектору и ;

б) перпендикулярен , , .