Exercices. 147)Déterminer une primitive F de la fonction f :

147) Déterminer une primitive F de la fonction f:

148) Soit f la fonction définie sur par ƒ(x)= 3x² + x – 4. Déterminer la primitive F de ƒ telle que

149) Déterminer une primitive de la fonction définie par:

a) b) c)

150) On considère la fonction g définie par Déterminer la primitive G de g vérifiant G(2)= 0.

151) Soit f la fonction définie sur par . Déterminer la primitive F de f sur qui s'annule pour x = 1.

152) Trouver la primitive F de f vérifiant la condition donnée:

a) b)

153) Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée.
a) b)

c) d)

154) Déterminer une primitive sur R des fonctions suivantes (penser aux formules de duplication)

a) f(x) = sin²x b) f(x) = cos²x c) f(x) = sinx cosx

155) A l’aide du formulaire, trouver une primitive des fonctions suivantes:

a) b)

c) d)

e) f) g)

156) Soit f la fonction définie sur [-1; 1] par Déterminer la primitive de la fonction f qui s’annule pour x = 0.

157) Trouver la forme générale des primitives:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

158)On considère la fonction définie sur par Déterminer pour la primitive de cette fonction sur qui prend la valeur 0 pour x = 0.

159)On considère la fonction définie sur par Déterminer la primitive de cette fonction sur qui prend la valeur 0 pour

x = 0.

160) Trouver la primitive F de f définie sur R par qui vaut –2 en 3.

161) Soit la fonction définie par: Déterminer l’unique primitive F de f qui prend la valeur 1 en 2. Indiquer l’intervalle de définition de cette primitive.

162) Soit f la fonction définie sur R par: Déterminer la primitive de f sur R qui s’annule pour x = 1.

3. 2 Définition et propriétés des intégrales

Mots à retenir

l’intégrale de a à b de f (интеграл функции f от a до b)

les bornes de l’intégrale (les bornes d ’ intégration) (пределы интегрирования)

la variable d ’ intégration (переменная интегрирования)

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. Étant donnés deux réels a et b de I on appelle intégrale de a à b de f le nombre .

Notation qui permet d’expliciter une primitive de f. On dit que a et b sont les bornes de l’intégrale. x est appelée variable d’ intégration.

Méthode Utilisation du tableau des primitives

Exemple

Propriétés de l’intégrale

1) 2)

3) Relation de Chasles

Remarque La relation de Chasles permet d'étendre la définition de l'intégrale au cas où la fonction f n'est continue que par morceaux sur l'intervalle d'intégration. On intègre séparément chacun des morceaux et on ajoute ensuite les intégrales obtenues.

Exemple Considérons la fonction f qui vaut x si et si . Son intégrale sur l'intervalle vaut:

4) avec k réel. On l'utilisera souvent, soit pour mettre en facteur une constante devant l'intégrale.

5) Linéarité de l'intégrale

On l'utilisera souvent pour séparer le calcul en deux intégrales plus simples.

Exemple