Ensembles

Mots à retenir

un ensemble (множество) un sous-ensemble (подмножество)

l’ensemble vide (пустое множество, Ø) énumérer (перечислять)

le complémentaire (дополнение) l'intersection (пересечение)

la réunion (объединение) l'inclusion (включение)

Un ensemble peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Souvent (ce n'est pas toujours possible), on essaye de le distinguer typographiquement de ses éléments, par exemple en utilisant une lettre latine majuscule, par exemple «E» ou «A», pour représenter l'ensemble, et des minuscules, telles que «x» ou «n», pour ses éléments.

Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, points géométriques, droites, fonctions, autres ensembles... On donne donc volontiers des exemples d'ensembles en dehors du monde (Le mot monde peut désigner:) mathématique (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...). Par exemple: lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine; une bibliothèque est un ensemble de livres, etc.

Un même objet peut être élément de plusieurs ensembles: 4 est un élément de l'ensemble des nombres entiers, ainsi que de l’ensemble des nombres pairs (forcément entiers). Ces deux derniers ensembles sont infinis, ils ont une infinité d’éléments.

L'appartenance d'un élément, noté par exemple x, à un ensemble, noté par exemple A, s’écrit: x ∈ A.

Cet énoncé peut se lire: «x appartient à A», «x est élément de A», «x est dans A», «A a pour élément x», «A possède x», ou parfois «A contient x».

Définitions

Considérons un ensemble E et la famille de ses sous-ensembles.

1) Pour deux ensembles A et B, on dit que A est un sous-ensemble ou une partie de B, si tous les éléments de A sont éléments de B. On dit encore que A est inclus dans B ou que B contient A.

2) Le cardinal d’un ensemble fini E est le nombre d’éléments de cet ensemble, noté Card E.

3) On dira donc que deux ensembles A et B sont égaux, on le notera comme d'habitude A = B, quand ils ont exactement les mêmes éléments.

4) Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...) faites sur les ensembles, sans s’occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles.

Opérations ensemblistes

Dans les exemples nous supposerons que E est l'ensemble des quadrilatères du plan. E possède divers sous-ensembles remarquables: les quadrilatères ayant un centre de symétrie (parallélogrammes), ceux ayant un axe de symétrie (les trapèzes isocèles et les deltoïdes), les rectangles, les losanges, les carrés...

1) Le complémentaire (, lire «complément de P dans E»)

Soit P un sous-ensemble de l'ensemble E. Alors le complémen t de P, noté est l'ensemble des éléments qui appartiennent а E mais qui n'appartiennent pas а E.

Si P est l'ensemble des parallélogrammes, est l'ensemble des quadrilatères qui sont des non-parallélogrammes.

2) L' intersection ( , lire «P inter Q»)

L' intersection de deux ensembles est l'ensemble des objets appartenant à la fois à l'un et l'autre des ensembles.

Si P et Q sont deux sous-ensembles, leur intersection est notée . Remarquons que .

Si P est l'ensemble des losanges et Q l'ensemble des rectangles, sera l'ensemble des quadrilatères qui sont à la fois des losanges et des rectangles, c'est-à-dire l'ensemble des carrés.

3) La réunion (, lire «P union Q»)

La réunion de deux ensembles est l'ensemble des objets appartenant à au moins l'un des deux ensembles.

Nous pouvons également considérer la réunion des sous-ensembles P et Q, notée .

Si P est l'ensemble des rectangles et Q l'ensemble des losanges, sera l'ensemble des quadrilatères qui sont des rectangles ou des losanges.

4) L' inclusion (, lire «Pest inclus dans Q»)

Si tout élément de Pest un élément de Q, on dira queP est inclus dans Q.

Si , on peut exprimer l'inclusion de manière différente, mais équivalente: est vide, ou encore

En particulier l'inclusion est transitive; on a: si et alors Si P est l'ensemble des rectangles et Q l'ensemble des parallélogrammes, et on a l'implication: si F est un rectangle, alors F est un parallélogramme.

5) La différence ensembliste: A\ B ou B \ A (lire «A privé de B» et «B privé de A»)

La différence de deux ensembles A et B, notée A\ B, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A mais qui n'appartiennent pas à B.

Désignation des ensembles

Un ensemble peut être défini soit par la connaissance individuelle de ses éléments, soit par l'énoncé de propriétés restrictives caractérisant l'élément au sein d'un ensemble plus vaste.

a) Les ensembles finis peuvent être définis en extension, par la liste de leurs éléments, on place la liste des éléments d'un ensemble entre accolades.

Exemples: E = {20, 30, 40, 50} F = { a, e, i, o, u, y }

G = {α, β, χ, δ, ε, φ, γ, η } H = {♣, ♦, ♥, ♠ }

Donc 20 E; a F; ε G; ♥ H

b) Un ensemble peut être défini en compréhension, c’est-à-dire qu'on le définit par une propriété caractéristique parmi les éléments d'un ensemble donné.

c) Il n'y a qu'un seul ensemble sans éléments, l' ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), que l'on note ∅.

Exemples: E = {20, 30, 40, 50} = { x tel que (10 <x <60) et x est multiple de 10}

F = { a, e, i, o, u, y } = { x tel que x est une voyelle}