![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Линейный диф-ый оператор
Линейным диф-ым ур-ем n-го порядка называется ур-ие вида:
a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an-1(x)y'+an(x)y=A(x) (1)
Приведенный вид ур-ия будет такой:
yn+p1(x)y(n-1)+...+pn-1(x)-1y+pn(x)y=q(x) (2)
Ур-ие (2) называют линейным неоднородным или ур-ем с правой частью.
Если q(x)=0, то ур-ие принимает вид:
a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an-1(x)y'+an(x)y=0 (3)
и его называют однородным ур-ем или ур-ем без правой части.
Обозначим левую часть ур-ия через L(y)
L[у]=yn+p1(x)y(n-1)+...+pn-1(x)-1y+pn(x)y (4)
Это выражение будем называть линейным диф-ым оператором от ф-ии.
Свойства линейного оператора:
Постоянный множитель можно вынести за знак оператора
L[Cy]=CL[y] (5)
Оператор от суммы дух ф-ий равен сумме операторов от каждого слагаемого в отдельности
L[y1+y2]=L[y1]+L[y2] (6)
Рассмотрим теоремы о свойствах частных решений линейного однородного диф-го ур-ия
L[y]=0 (7)
Теорема 1
Если ф-ия у1 является решением ур-ия (3), то м ф-ия су1 есть решением этого ур-ия
Док-во
Если у удовлетворяет ур-ию (3), то в следствии равенства (7) L[y1]=0
Принимая во внимание условие однородности получаемй:
L[y1]=CL[y1]=0, то L[Cy1]=0
Что означает, что ф-ия су1 также удовлетворяет ур-ию (3)
Теорема 2
Если ф-ия у1 и у2 являются решением ур-ия и (3), то и ф-ия у1+у2 есть решением этого ур-ия.
Теорема 3
Если у1, у2,…, уn частные решения уравнения, то их линейная комбинация у=0 с1у1+с2у2+…+cnyn есть также решением этого ур-ия
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 237 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!