![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Под знакочередующимися рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:
, где Un>=1.
Теорема. (Признак Лейбница): если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают (U1>U2>U3>…>Un…) и общий член ряда 0, то ряд сходится.
Доказательство: Пусть дан ряд 1, и пусть Un>Un+1; Un 0, при n
¥. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов:
Все разности в скобках в силу 1-го условия – положительны, поэтому последовательность частичных сумм { }- явл. Возростающей.
Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:
Отсюда следует, что: <U1 для любого n, тоесть последовательность
- ограничена и имеет предел:
. Покажем, что последовательность частичных сумм нечетного числа членов сходится к тому же пределу S:
Переходя к пределу: lim =S+0=S
Таким образом последовательность частичных сумм {Sn} ряда 1, сходится к пределу S, а это и означает, что ряд 1 сходится.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 257 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!