Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница. Знакопеременные ряды

Под знакочередующимися рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

, где Un>=1.

Теорема. (Признак Лейбница): если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают (U1>U2>U3>…>Un…) и общий член ряда 0, то ряд сходится.

Доказательство: Пусть дан ряд 1, и пусть Un>Un+1; Un 0, при n ¥. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов:

Все разности в скобках в силу 1-го условия – положительны, поэтому последовательность частичных сумм { }- явл. Возростающей.

Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:

Отсюда следует, что: <U1 для любого n, тоесть последовательность - ограничена и имеет предел: . Покажем, что последовательность частичных сумм нечетного числа членов сходится к тому же пределу S:

Переходя к пределу: lim =S+0=S

Таким образом последовательность частичных сумм {Sn} ряда 1, сходится к пределу S, а это и означает, что ряд 1 сходится.