Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения с разделяющимися переменными

Теорема сущ-я ед-ности. Если ¦ ¢(х;у) непрерывна, то существует и при том ед-ое решение ур-я у¢=¦ (х;у), кот. при х=х₀ удовлетворяет условию у=у_0. Если в т. х₀ , у₀ выполнено условие теоремы, мы будем наз. начальное условие допустимым. Общим решением диф-ого ур-я наз. такое решение, которое позволяет найти частное решение соответствующие начальному условию. Дадим геометрическое истолкование диф-ого ур-я 1-го порядка и решение. Пусть ф-я у=у(х)некоторое решение данного ур-я. Его геом. изображение на пл-ти явл. линия, кот. наз. интегральной прямой. Общее решение у=у(х;с) явл. сов-тью частных решений излбражается мн-вом интегральных кривых. Геом. диф-ое ур-е связывает коорд. т. (х;у) на пл-ти с определенным направлением касательной к интегральной кривой. Мы можем вычислить соотв. величины прямой. Для чего достаточно подставить х₀ и у₀ в ур-е (3) и найти у₀. Следовательно задавая диф-ые ур-я первого порядка, мы тем самым задаемнаправления интегральных кривых в точках плоскости. Если у¢=¦(х;у) у¢= , то имеем dy=¦(х;у)dx. Такому ур-ю можно предать вид М(х;у)dx+N(x;y)dy=0 (5). Рассмотрим случай, если каждая из которых зависит от одной переменной. М(х;у)= М₁(х) М₂ (у), М(х;у) = N₁(x) N₂(y). Тогда ур-е (5) примет вид:

М₁(х) М₂ (у)dx + N₁(x) N₂(y)dy=0 (6), разделим ур-е (6) почленно на произведение) М₂ (у)N₁(x).

(7). Ур-е (7) наз=ют ур-ем с разделенными переменными, ур-е (6), которое можно привести к виду (7) наз-ют ур-ем с разделяющимися переменными. , у=j(x;c).

56. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним. Функция f(x;y) наз. однородной фун-ей n-го измерения, если при замене в ней переменная х и у соответственно на tx, tyгде t­­­­­ произв. величина, получается таже фун-я умноженная на t­­­­­ в степени n. f(tx;ty)=t в степ n f(x;y).

Показатель степени n наз. измерением или степенью однородности фун-ии.

Однородным дифуром наз. ур-е вида:

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 (1).

Где M,N –однородные фун-ии. Одного и того же измерения.

Ур-е 1 можно привести к ур-ю с раздел. переменными подстановкой y=xz, где z новая фун-я. Дифференцируя данное равенство получим:

dy/dx= z+x(dz/dx)

Подставим выражение dy/dx в 1

Dy=z*dx+x*dz

M(x;y)dx+N(x;y)*z*dx+N(x;y)*x*dz

(M(x;y)+N(x;y)*z)dx+N(x;y)x*dz=0

dy/dx=f(ax+by+c/a₁x+b₁y+c₁) приводится к однородному или ур-ю с рездел. переменными уравнению. Для этого введем новоы переменные U и V вместо x и y. Положив, что x=U+α y=V+β.

Числа α и β так чтобы уравнение стало однородным

dy/dx=f(au+aα+bv+bβ+c/a₁u+a₁α+b₁v+b₁β+c)

aα+bβ+c=0 a₁α+b₁β+c=0

Ур-е вида M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 называется обобщенным однородным ур-м если нужно выбрать показ. степени α так чтобы подстановка y=z в степени α преобразовало данное ур-е в однородное или относительно х и у.

57, 58. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Диффур называется линейным если оно линейно относительно искомой фун-ии у и ее производной ∂х/∂у.

У‘+р(х)у=q(x) (1)

Если правая часть ур-я q(x) тождественно равно 0. То ур-е 1 называется однородным, в противном случае наз. Неоднородным.

2 способа решения линейного однородног ур-я:

Способ подстановки

Произведем в уравнении 1 положив что y=u*v, тем самым в место У в качестве искомой фун-ии введем новое переменное (например U). Поэтому вторую переменную V можно рассчитать как вспомогательное и выбрать его по своему усмотрению. Вычислим У‘ и подставим выражение для у и У‘ через U и V в ур-е 1

у′=u′v+uv′

u′v+uv′+p(x)*u*v=q(x)

u′v+u(v′+p(x)*v)=q(x) (2)

Выбираем V так чтобы выражение в скобках=0

(v′+p(x)*v)=0

Способ вариации произвольного постоянного.

Вместо того чтобы искать решение неоднородного ур-я 1 решим сначала соответствующее ему однородное уравнение, которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее уравнение имеет вид:

У=СЕ с степени -∫р(х)dx (6)

Если рассматривать ее как некоторую фун-ю от Х, то оказывается что можна подобрать ф-ю С(Х) так чтобы ф-я 6 стала решением неоднородного ур-я 1.

59. Уравнение Бернулли. у′+ р(х)у=q(x)* у в степени n. (7)

При n=0 ур-е Бернулли явл. Линейным, при n=1 ур-е 7 явл. с разд. переменными:

у′+ р(х)у=q(x)* у в степени n.

∂х/∂у= (q(x) –p(x))*y

В дальнейшем предположим что n≠0 и n≠1. Разделим обе части ур-я на у в степени n

1/у в степени n * у′ + р.(х)*1/ у в степени n-1 = q(x), положим что z=1/y в степени n-1 = у в степени n-1

Тогда

Z′=(1- n)* у в степени – n * у′

Z′+(1- n)* р.(х) * Z′=(1- n)*q(x)