Степенные ряды.Теорема Абеля

Степенной ряд:

(1)

Коэфициент Сj- наз коэф степенного ряда. Совокупность тех значений X, при которых степенной ряд (1) сходится, наз областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд сходится при значении и X не равен 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях Х, таких что .

2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях Х таких, что .

Доказательство 1: По условию ряд (1) сходится при отсюда следует, что выполняется необходимый презнак сходимости: .

- ограничена, тоесть сущ такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство:

(2)

Рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин членов ряда 1:

, который представлен в виде:

(3)

Члены ряда (3) согласно неравенству (2) меньше соответственно членов ряда:ъ

представляющего геометрич ряд, который сходится, когда его знаменатель

тоесть , ряд (1) сходится по признаку сравнения.

Доказательство 2: По условию ряд (1) сходится при условии Х=Х1. Покажем, что он расходится для всех . Предположим противное, что при ряд (1) сходится, тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1, что противоречит условию, таким образом для всех ряд (1)- расходится.