Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые условия диф-ти

Пусть ф-ция Z=ƒ(М) определена в некоторой окресности т. М(х, у). Предадим переменной х в т.М производное приращение ∆х, оставляя значение переменной у неизменным, т. е. перейдем на плоскости от т.М(х,у) к т. Мı(х+∆х,у) при этом ∆х такова, что т.Мı лежит в указанной окресности т. М. Тогда соответствующее приращение ф-ции ∆х Z=ƒ(х+∆х,у)-ƒ(х,у) называется частным приращением ф-ции по переменной х в т. М. Аналогично определяется частное приращение ф-ции по переменной у: ∆у Z=ƒ(х,у+∆у)-ƒ(х,у).

Определение 1.

Если существует предел при ∆х→0, то lim(∆х→0) ∆хZ/∆х, то он называется частной производной ф-ции Ζ=ƒ(М) в т. М по переменной х(по переменной у) и обозначается ƒ′х (ƒ′у) или Ζх(Ζ′у), Əƒ/Əх или Əƒ/Əу.

Определение 2.

Ф-ция Ζ=ƒ(М) называется дифференциальной в т.М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

∆Ζ=А∆х+В∆у+α(∆х,∆у)∆х+β(∆х,∆у)∆у (1), где А,В – некоторая зависящая (1) от ∆х,∆у числа, а α,β –бесконечномалые при ∆х→0, ∆у→0 ф-ции.

Теорема1 (необходимое условие дифференцируемости).

Если ф-ция Z=ƒ(М)дифференцируема в т.М, то она непрерывна в этой точке.

Док-во.Если ф-ция Z=ƒ(М) диф-ма в т.М,то lim(∆х→0,∆у→0) ∆Z= lim(∆х→0,∆у→0) (А∆х+В∆у+α(∆х,∆у)∆х+β(∆х,∆у)∆у)=0, а это и означает, что ф-ция непрерывна в т.М.

Теорема 2 (необходимое условие диф-мости).

Если ф-ция Z=ƒ(М),то она имеет в этой точке частные производные, а именно: ƒ′х(х,у)=А, ƒ′у(х,у)=В.

Док-во.Так как ф-ция Z=ƒ(М) диф-ма в т.М, то имеет место соотношение (1). Полагая, что ∆у=0, имеем ∆хZ=А∆х+α(∆х,0)∆х, где α – бесконечномалая при ∆х→0.Разделив на ∆х полученное выражение и переходе к пределу при ∆х→0, получаем lim(∆х→0) ∆хZ/∆х= lim(∆х→0) (А+α(∆х,0))=А, ƒх′=А.

Аналогично доказывается второе утверждение. Обратные утверждения к теореме не являются верными.

44.Частные производные. Понятие дифференцируемости функции.

Достаточное условие дифференцируемости.

Пусть ф-ция Z=ƒ(М) определена в некоторой окресности т. М(х, у). Предадим переменной х в т.М производное приращение ∆х, оставляя значение переменной у неизменным, т. е. перейдем на плоскости от т.М(х,у) к т. Мı(х+∆х,у) при этом ∆х такова, что т.Мı лежит в указанной окресности т. М. Тогда соответствующее приращение ф-ции ∆х Z=ƒ(х+∆х,у)-ƒ(х,у) называется частным приращением ф-ции по переменной х в т. М. Аналогично определяется частное приращение ф-ции по переменной у: ∆у Z=ƒ(х,у+∆у)-ƒ(х,у).

Теорема 3 (достаточное условие диф-ти).

Если ф-ция Z=ƒ(М) имеет частные производные в некоторой ∆ окоесности т.М и эти производные в самой т.М, то ф-ция диф-ма в т.М.

Док-во. Придадим переменным х и у столь малые приращения ∆х и ∆у, чтобы т.Мı с координатами (х+∆х, у+∆у) не выходила за пределы ∆ окресности т.М. Полное приращение ф-ции ∆Z=ƒ(х+∆х, у+∆у)-ƒ(х,у) можно переписать в виде ∆?=[ƒ(х+∆х,у+∆у)-*ƒ(х,у+∆у)]+[ƒ(х,у+∆у)-**ƒ(х,у)](2).

Выражение * рассматривается как приращение ф-ции ƒ(х,у+∆у) по переменной х(второй аргумент имеет постоянное значение у+∆у). Так как согласно условию эта ф-ция имеет производную по х ƒ′х(х,у+∆у), то по теореме Лагранжа получим ƒ(х+∆х, у+∆у)-ƒ(х,у+∆у)=ƒ′х(х+Θ,∆х,у+∆у)∆х, 0<Θı<1. Аналогично для ** имеем: ƒ(х,у+∆у)-ƒ(х,у)=ƒ′у(х,у+Θ2∆у), 0<Θ2<1. Производная ƒ′х и ƒ′у непрерывны в т.М, поэтому lim(∆х→0,∆у→0)ƒ′х(х+Θı∆х,у+∆у)=ƒ′х(х,у), lim(∆х→0,∆у→0) ƒ′у(х,у+Θ2∆у)=ƒ′у(х,у).

Отсюда следует, что ƒ′хХ+Θı∆х,у+∆у=ƒ′х(х,у)+α(∆х,∆у) и ƒ′(х,у+Θ2∆у)=ƒ′у(х,у)+β(∆х,∆у), где α и β – бесконечномалые величины.

Подставляя полученное выражение в (2), находим ∆Ζ: ∆Ζ=ƒ′∆х+ƒ′∆у+α(∆х,∆у)∆х+β(∆х,∆у)∆у,что и означает, что наша ф-ция диф-ма в т.М. Следовательно, из непрерывности частных производных следует непрерывность ф-ции.