Производные частных функций

Пусть Ζ=ƒ(х,у) – ф-ция двух переменных х и у, каждая из которых есть ф-цией переменной t. Тогда ф-ция Ζ=ƒ[х(t), у(t)] есть сложная ф-ция переменной t, а х и у – промежуточные переменные.

51.Наибольшее и наименьшее значение функции. При нахождении наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных глобального максимума, непрерывной на некотором замкнутом пространстве и множестве, следует иметь ввиду, что эти значения достигаются или в точках экстремума или на границах множества.

Подмножество Д n-мерного пространства наз. выпуклым, если для двух точек А и В принадлежащих Д отрезок соединяющий эти точки так же целиком принадлежит Д.

Ф-я z = ¦(x;y) заданная на выпуклом множестве Д наз. Выпуклой вниз, если для любых точек выполняется неравенство ¦(x1 + x2, y1 + y2) £ ¦(x1;y1) + ¦(x2 + y2) и наз. Выпуклой вверх, если 2 2 2 2

¦(x1 + x1, y1 + y2) ³ ¦(x1;y1) + ¦(x2 + y2)

2 2 2

Это означает, что для выпуклой ф-ции = 0 частная производная явл. не только необходимым, но достаточным условием экстремума явл. глобальной т.е. наименьшее значение в случае ф-ции выпуклой вниз и наибольшее в случае выпуклой вверх.

52.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Пусть рассматриваемая ф-я z = ¦(x;y), аргументы x и y, которой удовлетворяют условию: g(x;y)=c – уравнение связи. Точка с координатами (x0;y0) наз. Точкой условного максимума (минимума) если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек с коорд. (x;y) из этой окрестности удовлетворяющих условию g(x;y)=c выполняется неравенство: ¦(x0;y0) ³¦(x;y)

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.

Ф-я Логранжа имеет вид: L(x,y,l)= ¦(x;y)+l[ g(x;y)-c] гдеl - множитель Лагранжа.

Теорема.

Если т. (x0;y0) явл.точкой условного экстремума ф-ции z = ¦(x;y) при условии g(x;y)=c, то существует значение такое, что точка (x0,y0, l0) явл. точкой экстремума ф-ции Лагранжа.

Таким образом для нахождения условного экстремума требуется найти решение системы:

ì ¶l =0

ï ¶x

í ¶l =0

ï ¶y

ï ¶l =0

¶x

53. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов. Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы полученные опытным путем. Требуется наилучшим образом сгладить экспериментную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отобразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения связанные с неизбежными погрешностями измерений или стат. наблюдений. Такую слаженную зависимость стремятся представить в виде y=¦(x;y). Формулы, служащие для аналитического представления опыт. Данных получили наз. эмпирических формул. Задача нахождения эмпир. формул разбивается на два этапа: на первом этапе нужно установить вид зависимости y=¦(x). Предположим, что результаты в экспериментальных условиях нанесены на плоскости обычно предполагают, что прямая истиной зависимости это кривая истиной зависимости, наиболее согласована с экспериментальными данными. Предположим, что первый этап завершен и вид ф-ии y=¦(x) установлен. Тогда переходят ко второму этапу - определению неизвестных параметров ф-ии. Согласно наиболее распространенный и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов. В качестве неизвестных параметров ф-ии выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов di и отклонений теор. значений ¦(xi) найденых по эмпирической формуле от соответствующих опытных значений yi была

n n

минимальной. S = å di ² = å (¦(xi) – yi)²

i=1 i=1

Пусть в качестве ф-ии y=¦(x;y) взята линейная зависимость y=a+b. Задача сводится к отысканию таких значений параметров a и b, при которых ф-я. n

S = å (axi+b-yi)²

ì ì i=1

í Sa¢=0 í å 2 (axi+b-yi)xi=0

î S¢b=0 î å 2 (axi+b-yi)=0

Алгебраически преобраз. эта система имеет вид:

n 2 n n

ì (å xi)a + (å xi)b = å xi ´ yi

ï i=1 i=1 i=1

í n n (1)

î (å xi)a + n ´ = å yi

i=1 i=1

Система (1) наз. системой нормальных уравнений. Эта система имеет единственное решение т.к. ее опеределитель не равен 0.

54. Дифференциальные уравнения ур-я. Основные понятия. Геометрическое истолкование. Дифференциальным ур-е наз. ур-е связывающее независимую переменную x, неизвестную ф-ию y=y(x)

и её производные y¢,y²,…,yⁿ или дифференциал F(x,y,y¢,y²,…,y)⁽ⁿ⁾=0 (1)

Порядком диф. ур-ф наз. порядок высшей производной в него входящей. Решением диф. ур-я наз.

всякая ф-я y=y(x), будучи подставлена вместе с производными y¢,y²,…,y⁽ⁿ⁾ в (1)превращает его в тождество. Пусть дано диф-ое ур-е первого порядка в виде F(x,y,y¢)=0 (2) y¢=¦(x,y) (3) разрешенным относительно производной. Решением диф-ого ур-я служит некоторая ф-я y, зависящая не только от x, но и содержащая производную постоянного с.

Предавая различные значения постоянной с мы получили множество решений. Ф-я y=y(x;c), которая при любом постоянном значении с удовлетворяют ур-ю 2 и 3 наз. общим решением диф-ого ур-я первого порядка. Пусть кроме ур-я нам задано значение искомой ф-ии у=у₀ и х=х_0. Дополнительное условие наз. начальным у=у(х;с) (4). Подставим общее значение х=х₀ и у=у₀. Если решая ур-е (4) относительно с мы найдем вполне определенное значение с=с₀ , то ф-я у=у(х;с₀) будет удовлетворять и ур=ю (3) и начальному условию.Тем самым из мн-ва решений будет выделено одно. Решение ур-я (3),которое получ. из общего решения при вполне определенным значении постоянной с наз. решением.