![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть дано диф-ое ур-ие n-го порядка и соответствующая система начальных условий, если ф-ия f(x, y, y',…., y(n-1)) непрерывна в окрестности начальных условий и имеет непрерывные частные производные по аргументам x, y, y', y(n-1), то существует и притом единственное решение ур-ия, определенное на некотором интервале, соединяющем x0, и удовлетворяющее заданной системе начальных условий.
Общим решением диф-го ур-ия n-го порядка называется решение содержащее произвольные постоянные которые можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить любой допустимой системе начальных условий.
Типы уравнений, допускающих понижение порядка
1) Простейшим типом ур-ий n-го порядка допускающим понижение порядка является уравнение вида:
yn=f(x) (1)
Здесь порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования.
Пример
y'''=sinx-cosx
y''=∫(sinx-cosx)dx = -cosx-sinx+c1
y'= -sinx+cosx+c1x+c2
y=cosx+sinx+c1x2/2+c2x+c3
2) Диф-ое ур-ие F(x, y(k), y(k+1),…., y(n))=0 (2) не содержащее явной искомой функции и младших производных до (k-1)-го порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц.
Примем за новую искомую функцию
U=y(k) (3), следовательно
U=y(k+1) U(n-1)=y(n)
Так что подстановка выражения (3) в (2) приводит к виду
F(x, U, U',…., U(n-k))=0
Проинтегрировав это ур-ие и определив новую искомую функцию U, можно найти ф-ию y рассматривая равенство (3) как ди-ое ур-ие допускающее понижение порядка последовательным интегрированием.
Пример:
yIV=√y'''
y'''=U U'=yIV
U'=√U
∫dU/√U=∫dx
2√U=x+c1
U=(x/2+c1/2)2
y'''= (x+c1)2
y''= (x+c1)3+c2
y'= (x+c1)4+c2x+c3
y= (x+c1)5+c2x2/2+c3x+c4
3) Частным случаем рассмотренного выше типом ур-ия является ур-ие 2-го порядка не содержащее явно искомой ф-ии:
F(x, y', yn)=0 (4)
Здесь порядок уменьшается на единицу подстановкой y'=U
4) Ур-ие вида F(y, y', y'',….,y(n))=0 (5) не содержит явно неизвестную переменную, здесь порядок понижается на единицу путем замены обоих переменных. В качестве новой искомой ф-ии y'=p, а за новую независимую переменную принимаем y.
По правилу диф-ия получаем:
y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=p*dp/dy
y''=d/dx*(p*dp/dy)=dp/dx*dp/dy+p*d/dx*(dp/dy)=p(dp/dy)2+p(dp/dy)'y*dy/dx=p(dp/dy)2+p2*d2p/dy2
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 287 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!