Производная сложной и обратной ф-ции

Пусть переменная у есть ф-ция переменной и у=f(и),а переменная и есть ф-ция независимой переменной х: у=f ∆

Теорема: Если у=f(и) и и = дифиринцируемые ф-ции от своих аргументов,то производная сложной ф-ции существует и равна производной данной ф-ции по промежуточному аргументу умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х.

Y`=f`(u)*v`

Доказательство:Дадим независимой переменной х приращение ,тогда ф-ция и = и получат соответственно приращение и . Предположим, что ,тогда в силу дифференцируемости ф-ции можно записать:

где f`(и) независет от на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами ф-ции имеем: ,

где - бесконечно малое при .Отсюда

разделив обе части равенства на получим т.к. по условию ф-ция дифиренцируема, то она непрерывна в т.х следовательно при

а значит и .Переходя к пределу при получим

y`=f`