Точки разрыва функции

Определение 12. Точки, в которых функция не определена или определена, но не является непрерывной, называют точками разрыва функции.

Определение 13. Точку называют точкой устранимого разрыва функции , если .

Определение 14. Точку называют точкой разрыва первого рода функции , если .

Определение 15. Точку называют точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из ее односторонних пределов в точке бесконечен или не существует.

Алгоритм исследования точек разрыва
и поведения функции вблизи границ области определения

1) Найти область определения функции. Выписать точки, подозрительные на разрыв и являющиеся границами области определения.

2) В каждой точке разрыва вычислить пределы слева и справа. В зависимости от результата определить тип каждой точки разрыва.

Пример 2. Исследовать поведение функции на непрерывность, найти точки разрыва и указать их тип.

Решение. 1) Функция не определена в точке . Точек разрыва нет.

2) Односторонние пределы: , . Оба односторонних предела бесконечны.

Пример 3. Исследовать поведение функции на непрерывность, найти точки разрыва и указать их тип.

Решение. 1) Функция не определена в точке .

2) Односторонние пределы: , . Левосторонний предел бесконечен.

Теорема. Если функция определена и монотонна на отрезке , то она либо непрерывна на этом отрезке, либо имеет на этом отрезке только точки разрыва первого рода.