Алгоритм вычисления пределов функций

1) Подставить точку в функцию, стоящую под знаком предела, и выяснить тип неопределенности.

2) Если в результате подстановки получилось число или , то задача решена.

3) Если получилась неопределенность вида при , а выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой частное двух полиномов или иррациональных функций, то в числителе и знаменателе этого выражения нужно вынести в старшей степени. Если старшие степени числителя и знаменателя равны, то значение предела равно отношению коэффициентов при старших степенях в числителе и знаменателе (см. пример 1). Если степень числителя больше степени знаменателя, то значение предела равно бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то значение предела равно нулю.

4) Если получилась неопределенность вида при , а выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой частное трансцендентных функций, то это выражение следует преобразовать таким образом, чтобы получилось одно из выражений, представленных в таблице некоторых значений переделов функций.

5) Если получилась неопределенность вида при , а выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой частное двух полиномов, то числитель и знаменатель выражения следует разложить на множители, общие множители сократить, а затем вычислить предел, используя свойства пределов (см. пример 2).

6) Если получилась неопределенность вида при , а выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой отношение трансцендентных функций, то это выражение следует преобразовать таким образом, чтобы получилось произведение или частное замечательных пределов или следствий из них, а затем вычислить предел, используя свойства пределов (см. пример 3).

7) Если получилась неопределенность вида при , то выражение, стоящее под знаком предела, следует преобразовать таким образом, чтобы получился второй замечательный предел, а затем вычислить предел от степени числа , используя свойства пределов (см. пример 4).

Пример 1. Вычислить предел функции .

Решение. .

Пример 2. Вычислить предел функции .

Решение. .

Пример 3. Вычислить предел функции .

Решение.

.

Пример 4. Вычислить предел функции .

Решение.

Теоретический материал: [1, гл. 6], [2, гл. 4], [3, гл. 3], [5], [8], [10], [12, гл. 3], [17], [19], [21], [27], [33, ч. 1, гл. 6], [40, т. 1, гл. 3].