Основные свойства неопределенного интеграла. Свойства 1 и 2 следуют из равенств (1) и (2) параграфа 1

1. = f (x) dx.

2. = F (x)+ C.

Свойства 1 и 2 следуют из равенств (1) и (2) параграфа 1.

3. = ± .

Доказательство.

Пусть F (x) - первообразная для f (x), а G (x) - первообразная для g (x). Тогда F '(x) = f (x), G' (x) = g (x), и также = F (x)+ C₁, = G (x)+ C₂. Сладывая и вычитая два последние равенства, получим:

± = [ F (x)± G (x)] +(С₁ ± С₂). (1)

С другой стороны, [ F (x)± G (x)]' = F' (x) ± G' (x) = f (x) ± g (x).

Поэтому = [ F (x)± G (x)] + С. (2)

Правые части в этих равенствах равны с точностью до определенной постоянной, следовательно, равны и левые части.

=> = ± .

4. Если k - число, то = k .

Доказать самостоятельно.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. = + C (a¹-1).

2. =ln½ x ½+ C (x ¹0).

3. =sin x + C.

4. =cos x + C.

Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: Пусть { x _n} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [ a, b ].

a £ x _n £ b (" n).

(здесь рисунок)

Разделим сегмент [ a, b ] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [ a, b ] лежит бесконечно много членов последовательности { x _n}, обозначим эту половину через [ a ₁, b ₁]. Возьмем какой-нибудь : a ₁£ £ b ₁. Далее разделим сегмент [ a ₁, b ₁] пополам и обозначим через [ a ₂, b ₂] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности { x _n}. Выберем Î [ a ₂, b ₂], k ₂ > k ₁. a ₂£ £ b ₂. Затем разделим сегмент [ a ₂, b ₂] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [ a ₁, b ₁], [ a ₂ , b ₂], …, [ a _n, b _n], … (так как b _n- a _n = ® 0 при n ® ¥), и последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности { x _n}.

" n: a _n£ £ b _n. (1)

По теореме 6.1 $ точка с: lim a _n = lim b _n = c. Отсюда и из неравенства (1) следует, что ® c при n ® ¥. Таким образом, мы выделили из последовательности { x _n} сходящуюся подпоследовательность.

Теорема доказана.

Определение. Последовательность { x _n} называется неограниченной, если " A > 0 $ n: | x _n| > A.

//Замечание: Для неограниченных последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса неверна.

Примеры.

1) { n } = 1, 2, 3, …, n, …

Из { n } нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

2) { x _n} = 1, 0, 2, 0, 3, 0, …, n, 0, …

{ x _n} - неограниченная подпоследовательность.

{ x _2n} ® 0.

Определение: Последовательность { x _n} называется бесконечно большой, если " A > 0 $ N, " n > N: | x _n| > A.

Отметим, что бесконечно большая последовательность является неограниченной, а неограниченная последовательность может не быть бесконечно большой.

Задача 11. (для самостоятельного решения) Доказать 2 => 1. Поставим вопрос: сколько предельных точек может иметь последовательность? Из теоремы 6.2 следует, что ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

{ x _n} = 1, , 1, , 1, , …, 1, , …

Эта последовательность имеет две предельные точки: a ₁=1, a ₂=0. Оказывается, ограниченная последовательность может иметь сколько угодно много предельных точек, даже счетное множество.