Другие формы остаточного члена

Следствия.

1) p = n + 1.

R_{n +1}(x) = (x – x ₀) ^{n +1} (8)

Это остаточный член в форме Лагранжа.

(здесь рисунок)

x - x ₀ = q (x – x ₀), 0 < q < 1.

x = x ₀ + q (x – x ₀).

R_{n +1}(x) = (x – x ₀) ^{n +1}. (8)

2) p = 1. Тогда R_{n +1}(x) = (x – x ₀) f ^{(n +1)}(x). Т.к. x = x ₀ + q (x – x ₀), то x - x = (x – x ₀)(1 - q).

R_{n +1}(x) = (1- q) ⁿ × f^{(n +1)}(x ₀ + q (x – x ₀)). (9)

Это остаточный член в форме Коши.

//Замечание 1. Форма Пеано остаточного члена непосредственно следует из общей формы, а также из форм Лагранжа и Коши.

В самом деле, (x – x ₀) ^{n +1} = o ((x – x ₀) ⁿ) при x ® x ₀. И поэтому из формул (8) и (9) следует, что и (8), и (9) есть o ((x – x ₀) ⁿ).

//Замечание 2. Так как точка x в формуле (7) зависит от p, то величина q в формах Лагранжа и Коши, вообще говоря, разная.

Определение: Множество всех первообразных для функции f (x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от этой функции на промежутке X и обозначается . f (x) называется подынтегральной функцией. f (x) dx называется подынтегральным выражением. Отметим, что подынтегральное выражение является дифференциалом любой первообразной функции f (x). В самом деле:

dF (x)= F' (x) dx = f (x) dx. (1)

В силу следствия из теоремы 5.1 справедлива формула:

= F (x)+ C, (2)

где F (x) - одна из первообразных для f (x), C - произвольная постоянная.

Пример.

=sin x + C.

Поставим вопрос: какие функции имеют первообразную? Позднее будет доказано, что любая непрерывная на промежутке X функция f (x) имеет первообразную на этом промежутке.