Интегрирование рациональных функций/Простых дробей

называется рациональной функцией (рациональной дробью), n,m - степени многочленов.

Рациональная дробь называется правильной, если n < m. Любую правильную рациональную дробь можно разделить на сумму так называемых простейших дробей.

Рассмотрим правильную рациональную дробь .

Пусть Q _m(x) раскладывается на произведение следующих множителей:

Q _m(x) = (x - a)^a … (x - b)^b(x ² + px + q)^g … (x ² + rx + s)^d.(1)

где a, …, b -вещественные (различные) корни многочлена Q _m(x), x ² + px + q, …, x ² + rx + s - квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами, имеющие комплексные корни; a, …, b, g, …, d -кратности соответствующих корней. Отметим, что a + … + b + 2(g + … + d) = m. Написанное равенство для Q _m(x) называется разложением многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей.

Утверждение: Правильную рациональную дробь, у которой разложение знаменателя имеет вид (1), можно разложить, и притом единственным способом, на сумму простейших дробей следующего вида:

= + + … + + … + + … + + … + + + … + + … + + … + .

Здесь не будем доказывать.

Таким образом интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей четырёх типов:

1) = = A ln| x - a | + C.

2) = [где a > 1] = = + C.

3) = = (x+p/2=t x= t- p/ 2 d x=dt) =

=

4) , a > 1.dt=dx, x = t - p/ 2, a = = = + (N - Mp/2) == +(N - Mp/2) I _a.

Если рациональная дробь неправильная, то есть n ³ m, то разделив P _n(x) на Q _m(x), получим:

P _n(x) = Q _m(x) T _n-m(x) + R _k(x), (k < m).

= T _n-m(x) + , где T _n-m(x) - многочлен, правильная рациональная дробь.

Комплексные числа. Комплексные числа

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида: P_n(x) = 0, где P_n(x) - многочлен n - ой степени. Пару вещественных чисел x и у назовём упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, а какое - вторым. Обозначение упорядоченной пары: (x, y). Комплексным числом назовём произвольную упорядоченную пару вещественных чисел. z = (x, y)-комплексное число.

x -вещественная часть z, y -мнимая часть z. Если x = 0 и y = 0, то z = 0. Рассмотрим z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂).

Определение 1. z₁ = z₂, если x₁ =x₂ и y₁ = y₂.

Понятия > и < для комплексных чисел не вводятся.