Точные грани ограниченного числового множества

Пусть X -числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).

x Î X - x содержится в Х.

x Ï X - x не принадлежит Х.

Определение: Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого x Î X выполняется неравенство x £ M (x ³ m), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если $ M, " x Î Х: x £ M.

Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если " M $ x Î Х: x > M.

Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть $ М, m такие, что " x Î Х: m £ x £ M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если $ A > 0, " x Î X: ½ x ½£ A. Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается Sup Х (супремум). =Sup Х.

Аналогично можно определить точную нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани: Число называется точной верхней гранью множества Х, если: 1) " x Î X: х £ (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2) " < $ x Î X: х > (это условие показывает, что - наименьшая из верхних граней).

Sup X = :

1. " x Î X: x £ .

2. " < $ x Î X: x > .

inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?

Пример: Х = { x: x >0} не имеет наименьшего числа.

Теорема 7.3. (вторая теорема Вейерштрасса) Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней.

Доказательство. Проведем доказательство для точной верхней грани. Допустим, что f (x), непрерывная на сегменте [ a, b ], не принимает ни в одной точке значения

M = f (x), тогда " x Î [ a, b ]: f (x) < M.

Введем функцию: F (x) = > 0 и непрерывна на [ a, b ]. По теореме 7.2, $ A > 0, " x Î[ a, b ]: F (x) = £ A. " x Î [ a, b ]: f (x) £ M - < M.

Но это противоречит тому, что M – наименьшая из верхних граней функции на [ a, b ]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, функция достигает на сегменте [ a, b ] своей точной верхней грани.

Теорема доказана.

//Замечание 1. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см. пример перед теоремой).

//Замечание 2. Если f (x) достигает на множестве X своей точной верхней грани, то она имеет на этом множестве максимальное значение, то есть f (x) = f (x), в противном случае функция не имеет на множестве X максимального значения. То же самое отн. к min и inf. Из теоремы 7.3 следует, что если f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ], то она имеет на этом сегменте максимальное и минимальное значения. Ограниченная, но разрывная на сегменте функция может не иметь на этом сегменте минимального и максимального значения.

Пример. (здесь рисунок)

f (x) = . f (x) =1, минимального значения нет.

Примеры.

1) f (x) = x равномерно непрерывна на (- ¥, ¥).

В самом деле, " e > 0 возьмем d = e (тем самым d зависит только от e и не зависит от x).

Если ½ x ''- x '½ < d = e, то ½ f (x '')- f (x ')½= ½ x ''- x '½< e, а это и означает по определению, что данная функция непрерывна на всей числовой прямой.

2) f (x) = на X = {0 < x £ 1}.

Эта функция непрерывна на (0, 1), но не является равномерно непрерывной.

(здесь рисунок)

В самом деле, возьмем e = 1 и возьмем x ' = , x '' = . Тогда " d > 0 $ N: ½ x ' - x ''½ < d, но при этом ½ f (x ') - f (x '')½ = ½ n - (n + 2)½ = 2 > e = 1. Тем самым, для указанного e не найдется нужного d. Это и означает, что данная функция не является равномерно непрерывной на [0, 1].

Теорема Ферма. Если функция f (x) имеет в точке c локальный экстремум и дифференцируема в точке с, то f ’(c) = 0.

Доказательство.

Пусть в точке c функция имеет максимум (для минимума доказательство аналогично). Допустим, f ’(c) ¹ 0. Пусть f ’(c) > 0. Тогда по теореме «Если f (x) дифференцируема в точке c и f '(c) > 0 (< 0), то f (x) возрастает (убывает) в точке c.». функция возрастает в точке c и, следовательно, существует окрестность точки c, в которой f (x) ® f (c) при x > c, но это противоречит тому, что в точке c функция имеет локальный максимум. Таким же образом можно показать, что f ’(c) < 0 не выполнено. Значит, Пусть f ’(c) = 0, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

//Замечание. Условие f ’(c) = 0 является только необходимым, но не достаточным условием существования локального экстремума дифференцируемой функции.

Геометрический смысл производной.