Теорема 7.11. Если f(x) имеет на промежутке X ограниченную производную, то f(x) равномерно непрерывна на этом промежутке

Доказательство.

Пусть ½ f ’(x) ½ < M " x Î X. Зададим произвольное e > 0. Возьмем d = (тем самым d зависит только от e и не зависит от x). Пусть теперь x ₁ и x ₂ Î X – такие, что ½ x ₂ - x ₁½< d = . Тогда ½ f (x ₂) - f (x ₁) ½=½ f ’(x)(x₂ - x ₁)½= <e, а это и означает по определению, что f (x) равномерно непрерывна на промежутке X.

Теорема доказана.

Примеры.

1) f (x) = ln x на { x ³ a ³ 0}.

½ f ’(x) ½= £ на { x ³ a }.

Следовательно, по теореме 7.11 ln x – равномерно непрерывная функция на этой полупрямой.

2) f (x) = ln x не является равномерно непрерывной функцией на { x > 0}.

Доказать самостоятельно.

3) Ограниченность производной – только достаточное, но не необходимое условие равномерной непрерывности фугкции.

Например, f (x) = arcsin x на (-1 < x < 1).