Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 7.14. Пусть функция f (x) n раз дифференцируема в точке x ₀, тогда для функции f (x) имеет место равенство:

f (x) = P_n (x) + o ((x – x ₀) ⁿ), где P_n (x) – многочлен Тейлора для функции f (x).

Лекция 22.

Пусть имеется f (x), имеющая производные до n -го порядка. Поставлена задача найти многочлен P _n(x):

P_n (x ₀) = f (x ₀), P ’ _n (x ₀) = f ’(x ₀), P ’’ _n (x ₀) = f ’’(x ₀), …, P ^{( n )} _n (x ₀) = f ^{( n )}(x ₀). (1)

Этот многочлен был найден в виде:

P_n (x) = f (x ₀) + (x – x ₀) + … + (x – x ₀) ⁿ = (x – x ₀) ^k. (3)

Теорема 7.14. Пусть функция f (x) n раз дифференцируема в точке x ₀, тогда для функции f (x) имеет место равенство:

f (x) = P_n (x) + o ((x – x ₀) ⁿ). (4)

Доказательство.

Введем обозначение:

R (x)= f (x)- P_n (x)= f (x)–[ f (x ₀)+ (x – x ₀)+ … + (x – x ₀) ^{n -1}+ (x – x ₀) ⁿ ].

Надо доказать, что R (x) = o ((x – x ₀) ⁿ). Мы докажем это с помощью правила Лопиталя.

Требуется доказать, что = 0. (5)

Отметим прежде всего, что в силу условия теоремы сама функция f (x) и ее производные f ’(x), …, f ^{( n -1)}(x) непрерывны в точке x ₀. Поэтому, используя условие (1), получаем:

R (x) = [ f (x) - P_n (x)] = f (x ₀) - P_n (x ₀)] = 0. (6)

R ^’(x) = [ f ^’(x) – P ^’ _n (x)] = f ’(x ₀) – P ’ _n (x ₀)] = 0. (6’)

и так далее…

R ^{(n -1)}(x) = [ f ^{(n -1)}(x) – P ^{(n -1)} _n (x)] = f ^{(n -1)}(x ₀) – P ^{(n -1)} _n (x ₀)] = 0. (6^{( n -1)})

В силу (6) предел (5) является неопределенностью типа . В силу (6’) также является неопределенностью типа . и так далее…

В силу (6^{( n -1)}) = снова является неопределенностью типа . Для вычисления последнего предела рассмотрим выражение для R ^{( n -1)}(x). R ^{(n -1)}(x) = f ^{(n -1)}(x) - f ^{(n -1)}(x ₀) - f ⁽ⁿ⁾(x ₀)(x – x ₀). Так как f ^{( n -1)}(x) дифференцируема в точке x ₀, то ее приращение в точке x ₀ тожно представить в виде:

f ^{(n -1)}(x) - f ^{(n -1)}(x ₀) = ×(x – x ₀) + o (x – x ₀) = f ⁽ⁿ⁾(x ₀)(x – x ₀) + o (x – x ₀).

Следовательно, R ^{( n -1)}(x) = o (x – x ₀), поэтому = = 0.

Таким образом, применяя к пределу (5) правило Лопиталя, получим:

= = … = = 0,

что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Введем обозначение: R_{n +1}(x) = R (x) = f (x) - P_n (x). Тогда равенство (4) можно записать в виде:

f (x) = P_n (x) + R_{n +1}(x), (4’)

где R_{n +1}(x) = o ((x – x ₀) ⁿ).

Функция R_{n +1}(x) называется остаточным членом, а формула (4) называется формулой Тейлора для функции f (x) с центром разложения в точке x ₀ и с остаточным членом в форме Пеано.