Определение. Касательной к графику функции называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке

Касательной к графику функции называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке вдоль графика(при этом стремится нулю).

Предположим, что кривая имеет в точке касательную. Очевидно, .

Имеем право перейти к пределу при ,т.к. предположили, что кривая имеет касательную

или, в силу непрерывности функции

Таким образом, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой к графику функции в точке .

Запишем уравнение касательной .

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку имеет вид

для касательной будем, следовательно, иметь уравнение (T)

В частности, если то касательная имеет уравнение , т.е. горизонталь.

Заметим, что если производная функции в точке бесконечная, то касательная к её графику в точке М вертикальна и имеет уравнение .

Нормалью к графику функции в точке х₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т).

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

- уравнение нормали (N)