Правило Лопиталя/ 0/0

Пусть f (x) = 0, g (x) = 0.

мы называем неопределенностью типа .

Правило Лопиталя позволяет в определенных случаях раскрыть эту неопределенность, то есть вычислить этот предел.

Теорема 7.13. Пусть:

1) f (x) и g (x) определены и дифференцируемы в проколотой d - окрестности точки a,

2) Пусть f (x) = g (x) = 0,

3) g ’(x) ¹ 0 в любой точке из указанной проколотой d - окрестности точки a,

4) $ . (1)

Тогда: $ = .

Доказательство.

Доопределим f (x) и g (x) в точке a по непрерывности, то есть положим f (a)= g (a) = 0. Тогда f (x) и g (x) будут непрерывны в некоторой окрестности точки a.

(здесь рисунок)

Возьмем произ. x ¹ a из этой окрестности и применим формулу коши для сегмента [ a, x ].

, где c Î [ a, x ]. Отсюда получаем:

. (2)

Перейдем в (2) к пределу при x ® a. При этом c ® a. В силу условия 4) предел правой части равенства (2) существует, следовательно, существует предел левой части равенства, и он равен пределу правой части, то есть = .

Теорема доказана.