Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел

M(x, y) «z = x + iy.

½ OM½ = r =½ z ½ = .(рисунок)

r называется модулем комплексного числа z.

j называется аргументом комплексного числа z. Он определён с точностью до ± 2p n.

х = rcosj, y = rsinj.

z = x + iy = r(cosj + i sinj) - тригонометрическая форма комплексных чисел.

Утверждение 3.

Если

= (cos + i sin ),

= (cos + i sin ), то

= (cos( + ) + i sin( + )),

= (cos( - )+ i sin( - )) при ¹0.

Утверждение 4.

Если z =r (cosj + i sinj), то " натурального n:

= (cos nj + i sin nj),

= (cos +i sin ), где - арифметический (неотрицательный) корень

n - й степени из r, k = 0,1,…, n - 1.

Показательная форма комплексных чисел.

Введём комплекснозначную функцию вещественного аргумента

f (j) = cosj + i sinj.

f ()× f () = f ( + ). Таким же свойством обладает показательная функция.

Связь между f (j) и показательной функцией выражается формулой Эйлера

= cosj + i sinj.

Если j = p Þ = -1 (это равенство связывает четыре замечательных числа: e, p, 1 и i).

z = r (cosj + i sinj) = r -показательная форма комплексных чисел.

Доказательство утверждения 4.

= = = (cos n j + i sin n j).

Достаточное условие равномерной непрерывности функции.